Z-transformace

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Funkce komplexní proměnné editovat

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti $x(k)$ je definována

X(z)=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)z^{-k}

,

kde $z$ je komplexní proměnná. Množina hodnot $z$ , pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě $z_{0}$ , pak konverguje v každém bodě $z$ , pro který platí $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$ . Oblast konvergence Z-transformace je tedy $\left|z\right|>R$ , kde $R$ je dáno chováním posloupnosti $x(k)$ pro $k\to \infty$ .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:

x(k)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{k-1}\,\mathrm {d} z

kde $C$ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující všechny póly.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Ve spojitém světě se za příbuzného Z-transformace považuje Laplaceova transformace.

Statistika editovat

Fisherova z-transformace editovat

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar

Z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}

.

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Transformace na z-skóry editovat

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar

y={\frac {x-\mu }{\sigma }}

,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.

Související články editovat

Externí odkazy editovat

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.