Otevřít hlavní menu

Fourierova transformace

zobecnění fourierových řad

Fourierova transformace je integrální transformace převádějící signál mezi časově a frekvenčně závislým vyjádřením pomocí harmonických signálů, tj. funkcí a , obecně tedy funkcí komplexní exponenciály. Slouží pro převod signálů z časové oblasti do oblasti frekvenční. Signál může být buď ve spojitém či diskrétním čase.

Obsah

Spojitý časEditovat

DefiniceEditovat

Fourierova transformace   funkce   je definována integrálním vztahem

 

Funkci   vypočteme z   inverzní Fourierovou transformací

 

Nevlastní integrály chápeme ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty, tj.

 

Dvojice ve Fourierově transformaci se nazývají originál (zde  ) a obraz (zde  ). Vztah mezi originálem a obrazem vyjadřujeme zápisem

  a  .

V technické oblasti je   úhlová frekvence,   představuje spektrum signálu  .

Spektrum je komplexní veličina a lze vyjádřit ve tvaru  . Velikost   nazýváme amplitudové spektrum a úhel   fázové spektrum signálu.

Vlastnosti Fourierovy transformaceEditovat

Věta o linearitěEditovat

Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter

 

Věta o změně měřítka (Podobnost)Editovat

Má-li signál   spektrum  , má signál   spektrum

 .

Tedy rozšíření signálu v časové oblasti odpovídá zúžení spektra a naopak.

Posun signálu v čase (Posunutí)Editovat

Má-li signál   spektrum  , má signál posunutý o veličinu   spektrum

 

Amplitudové spektrum posunutého signálu se nemění, mění se jen fázové spektrum a to úměrně zpoždění a kmitočtu. Na rozdíl od věty o translaci v Laplaceově transformaci platí věta pro libovolné a, tedy i pro  .

Spektrum reálného signáluEditovat

Je-li signál reálný, pak pro jeho spektrum platí:

  • amplitudové spektrum je sudou funkcí[1]
  • fázové spektrum je lichou funkcí[1]
  • spektrum sudého signálu je sudou reálnou funkcí
  • spektrum lichého signálu je lichou ryze imaginární funkcí

Diskrétní časEditovat

DefiniceEditovat

Fourierova transformace   posloupnosti   je definována vztahem

 

Posloupnost   vypočteme z   inverzní Fourierovou transformací

 

Někteří autoři označují tuto transformaci DtFT (discrete-time Fourier transformation), aby ji odlišili od Fourierovy transformace spojitého signálu. Zde nebudeme značením nijak odlišovat Fourierovu transformaci spojitého a diskrétního signálu. Vztah mezi signálem a jeho spektrem budeme tedy značit

  a
 .

Spektrum diskrétního signálu se od spektra spojitého signálu liší tím, že je periodické s periodou  .

Diskrétní Fourierova transformaceEditovat

Na tuto kapitolu je přesměrováno heslo Diskrétní Fourierova transformace.

Definiční vztahy Fourierovy transformace vyžadují znalost matematického vyjádření signálu či spektra. Pokud však zpracováváme naměřené hodnoty, tj. známe vzorky signálu či spektra z konečného intervalu, stojíme před problémem, jak určit spektrum z vzorků signálu či signál ze vzorků spektra. K tomu účelu používáme numerické metody, která je známa jako diskrétní Fourierova transformace (DFT).

Diskrétní Fourierova transformace mezi posloupnostmi  ,  , je definována vztahy:

  • přímá diskrétní Fourierova transformace
 
  • a zpětná (inverzní) diskrétní Fourierova transformace
 

Diskrétní Fourierova transformace našla velké uplatnění zejména s rozvojem výpočetní techniky. Součástí řady přístrojů jsou jednoúčelové procesory realizující tuto transformaci. Výpočet DFT podle definičního vztahu vyžaduje   komplexních součinů a   komplexních součtů. Toto množství operací výrazně snižovalo možnost aplikace DFT na výpočty v reálném čase.

Situace se změnila po roce 1965, kdy J. W. Cooley a J. W. Tukey popsali velmi efektivní algoritmus výpočtu DFT, tzv. rychlou Fourierovu transformaci (FFT – Fast Fourier Transform), který vyžaduje jen   komplexních součinů a   komplexních součtů. Díky tomuto algoritmu se stala diskrétní Fourierova transformace nejrozšířenějším prostředkem pro numerický výpočet Fourierovy transformace. Algoritmus FFT je také implementován ve všech nejrozšířenějších matematických programech jako je např. GNU Octave, Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab atd.

Zpětná Fourierova transformaceEditovat

 

Integrál na pravé straně je nutno chápat ve smyslu hlavní hodnoty. Po úpravách popisuje rozložení funkce f(t) pro f∈(-∞,∞) na harmonické kmity, jejichž uhlová frekvence se mění od   do  .

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. a b plyne to z  ; viz [1], strana 6

Externí odkazyEditovat