Fourierova řada

Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu spolu s definovaným skalárním součinem:

Ortogonální projekce funkce f z Hilbertova prostoru do nadroviny konečné dimenze n.
,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkceEditovat

Mějme lineární podprostor   dimenze   Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi  :

       

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí   a   platí:

 

  kde  

a

  kde   jsou souřadnice   vzhledem k  ,

pak můžeme aproximovat funkci   následující řadou:

  kde  

Fourierova řada v goniometrickém tvaruEditovat

Množina   tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci   můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

  

kde       a kde  .

Koeficient   nemá smysl uvažovat, neboť  .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí   a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce   ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce   aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

PříkladEditovat

 
Exponenciála
 
Sudá a lichá funkce

Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu   a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou   na intervalu   a úhlovou frekvencí  , pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:

sudá funkce:

 

 

 

kde  

 

lichá funkce:

 

 

 

kde  

 

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaruEditovat

Z následujících vztahů:


 

 

a

 

 

dostaneme:

 

 ,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce   pomocí následující exponenciální řady:

   kde   je střední hodnota funkce  .

Fourierova transformaceEditovat

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

 

lze zavést spojitou Fourierovu transformaci užitím limitních přechodů:

 

a naopak

 

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat