Fourierova řada

Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu $\langle 0,T\rangle$ spolu s definovaným skalárním součinem:

f\cdot g=\int _{0}^{T}f(t)\ g(t)\ dt

,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde $T$ je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkce

Mějme lineární podprostor $\rho$ dimenze $n$ Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi $E$ :

$\rho \subset H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $dimH=\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $\dim \rho =n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $f\in H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $f_{n}\in \rho \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $n=1,2,3,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $E=e_{1},e_{2},e_{3},\cdots$

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí $f$ a $f_{n}$ platí:

$\left|f-f_{n}\right|^{2}=\left(f-f_{n}\right)\cdot \left(f-f_{n}\right)=f\cdot f-2f\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n}=f\cdot f-2f\cdot \sum _{i}^{}{s_{i}e_{i}}+\sum _{i}^{}s_{i}^{2}=$

$=f\cdot f+\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}-2\sum _{i}^{}{s_{i}\left(f\cdot e_{i}\right)}+\sum _{i}^{}s_{i}^{2}-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}=f\cdot f+\sum _{i}^{}\left(\left(f\cdot e_{i}\right)-s_{i}\right)^{2}-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ kde $i=1,\cdots ,n$

a

$s_{i}=f\cdot e_{i}\Rightarrow \left|f-f_{n}\right|^{2}=f\cdot f-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}=\left|f\right|^{2}-\left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow \left|f\right|^{2}\geq \left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow f\sim f_{n}$

kde $s_{1},\cdots ,s_{n}$ jsou souřadnice $f_{n}$ vzhledem k $E$ , pak můžeme aproximovat funkci $f$ následující řadou:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|f-f_{n}\right|^{2}=0\Rightarrow \left|f\right|^{2}\approx \left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow f\approx f_{n}=\sum _{i}^{}{\left(f\cdot e_{i}\right)\ e_{i}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ kde $i=1,\cdots ,n$

Fourierova řada v goniometrickém tvaru

Množina $\left\{{\frac {1}{\sqrt {T}}},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }\omega t,{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }\omega t,{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }{2\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }{2\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }{3\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }{3\omega t},\cdots \right\}$ tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci $f$ můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

f\left(t\right)\approx \sum _{0}^{\infty }{a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

n\mathbb {\in N}

kde $a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\cos n\omega t\,\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\sin n\omega t\,\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ pro $n=1,2,3,\cdots$ .

Koeficient $b_{0}$ nemá smysl uvažovat, neboť $b_{0}\sin 0=0$ .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí $f$ a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce $f$ ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce $f$ aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad

Exponenciála

Sudá a lichá funkce

Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu $<0,1>$ a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou $T=2$ na intervalu $<-1,1>$ a úhlovou frekvencí $\omega =\pi$ , pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:

sudá funkce:

$a_{0}={\frac {1}{2}}(\int _{-1}^{0}{e^{-t}\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\,dt})=e-1$

$a_{n}=\int _{-1}^{0}{e^{-t}\cos n\pi t\,\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\cos n\pi t\,\,dt}=2{\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}$

$b_{n}=0$

kde $n=1,2,3,\cdots$

f\left(t\right)\approx (e-1)+2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}\cos n\pi t}

lichá funkce:

$a_{0}=0$

$a_{n}=0$

$b_{n}=-\int _{-1}^{0}{e^{-t}\sin n\pi t\,\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\sin n\pi t\,\,dt}=-2n\pi {\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}$

kde $n=1,2,3,\cdots$

f\left(t\right)\approx -2\sum _{n=1}^{\infty }{n\pi {\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}\sin n\pi t}

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru

Z následujících vztahů:

$e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}=\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)+\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)=2\cos n\omega t$

$e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}=\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)-\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)=i2\sin n\omega t$

a

$a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t={\frac {a_{n}}{2}}\left(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}\right)-i{\frac {b_{n}}{2}}\left(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}\right)=$

$={\frac {1}{2}}\left(a_{n}-ib_{n}\right)e^{in\omega t}+{\frac {1}{2}}\left(a_{n}+ib_{n}\right)e^{-in\omega t}=\left({c_{n}e}^{in\omega t}+{\overline {c}}_{n}e^{-in\omega t}\right)$

dostaneme:

$2c_{n}=\left(a_{n}-ib_{n}\right)={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)dt}\Rightarrow c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\ e^{-in\omega t}dt}$

$2{\overline {c}}_{n}=\left(a_{n}+ib_{n}\right)={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)dt}\Rightarrow {\overline {c}}_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\ e^{in\omega t}dt}$ ,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce $f$ pomocí následující exponenciální řady:

f\left(t\right)\approx \sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

n\mathbb {\in Z} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

kde

a_{0}=c_{0}={\overline {f}}

je střední hodnota funkce

f

.

Parsevalova rovnost

Nechť

f\left(t\right)\approx \sum _{0}^{\infty }{a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t}=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

n\mathbb {\in Z}

.

Pak platí následující Parsevalova rovnost, vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:

{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{2}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}^{2}

.

Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval. Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce $f$ , lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.

Fourierova transformace

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

T\omega =2\pi \Rightarrow \left(T\rightarrow \infty \Rightarrow \omega \rightarrow 0\right)\Rightarrow n\omega \equiv \omega \equiv d\omega

lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci:

\lim _{T\rightarrow \infty }{Tc_{n}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{f\left(t\right)e^{-in\omega t}dt}}=\int _{-\infty }^{\infty }{f\left(t\right)\ e^{-i\omega t}dt}=F\left(\omega \right)

a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:

f\left(t\right)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sum _{-\infty }^{\infty }{T{\frac {\omega }{2\pi }}c_{n}e^{in\omega t}}}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{-\infty }^{\infty }{\lim _{T\rightarrow \infty }{Tc_{n}e^{in\omega t}\omega }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{F\left(\omega \right)\ e^{in\omega t}{\text{dω}}}

Odkazy

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Fourierova řada na Wikimedia Commons
Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.