Pravděpodobnostní funkce

Pravděpodobnostní funkce (anglicky probability mass function, pmf) je funkce v teorii pravděpodobnosti a statistice, která udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina se přesně rovná nějaké hodnotě[1]. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování diskrétního pravděpodobnostního rozdělení, a taková funkce existuje jak pro skalární tak pro vícerozměrnou náhodnou veličinu, jejíž definiční obor je diskrétní.

Ukázka grafu pravděpodobnostní funkce. Všechny hodnoty této funkce musí být nezáporné a jejich součet je 1.

Pravděpodobnostní funkce se liší od hustoty pravděpodobnosti (anglicky probability density function, pdf) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné zintegrovat, abychom získali pravděpodobnost[2].

Formální definiceEditovat

 
Pravděpodobnostní funkce poctivé kostky. U všech čísel na kostce je stejná pravděpodobnost, že se při hodu objeví na horní stěně.

Předpokládejme, že X: Ω → A ( ) je diskrétní náhodná veličina definovaná na prostoru elementárních jevů Ω. Pak pravděpodobnostní funkce fX: A → <0, 1> pro X je definovaná jako[3][4]

 

Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky x:

 

Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami x, může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo n-ticím v případě diskrétní vícerozměrné náhodné veličiny) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v obrazu množiny X. To znamená, že funkce fX může být definovaná pro všechna reálná čísla a fX(x) = 0 pro všechna x   X(Ω), jak je znázorněno na obrázku.

Protože obraz X je spočetný, pravděpodobnostní funkce fX(x) je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot x. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech.

PříkladyEditovat

Předpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu mincí a X je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“; jedná se o alternativní rozdělení, které je speciálním případem binomického rozdělení pro počet hodů n=1. Pokud je mince poctivá, pravděpodobnostní funkce je

 

Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je multinomické rozdělení.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability mass function na anglické Wikipedii.

  1. Stewart, William J. Probability, Markov Chains, Queues and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. [s.l.]: Princeton University Press, 2011. Dostupné online. ISBN 978-1-4008-3281-1. 
  2. Pravděpodobnostní funkce v Mathworld
  3. Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. [s.l.]: Birkhäuser, 2006. Dostupné online. ISBN 978-0-387-30255-3. 
  4. Rao, S.S. Engineering optimalization: theory and practice. [s.l.]: John Wiley & Sons, 1996. Dostupné online. ISBN 978-0-471-55034-1. 

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)