Otevřít hlavní menu

Rozdělení pravděpodobnosti

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličinyEditovat

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina   bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu  , značíme  ,   nebo stručně  .

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot   diskrétní náhodné proměnné   je roven 1, tzn.

 

Pravděpodobnostní funkceEditovat

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy vyjádří tak, že se určí pravděpodobnost   pro všechna   definičního oboru veličiny  . Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot   jsou tedy vyjádřeny funkcí  , která se nazývá pravděpodobnostní funkce.

 
Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti

Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.

x P(x)
   
   
   

Také se používá vyjádření ve formě grafu (viz obrázek). V některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.

Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Například pravděpodobnost, že náhodná veličina   leží mezi hodnotami   a  , se určí jako

 

Distribuční funkce diskrétní veličinyEditovat

Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést distribuční funkci vztahem

 

Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zprava. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu  . Pro diskrétní náhodnou veličinu   lze pro libovolné reálné číslo   vyjádřit distribuční funkci vztahem

 

VlastnostiEditovat

Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu  , pak   a  .

Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

 

Důležitá diskrétní rozděleníEditovat

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličinyEditovat

 
Distribuční funkce několika normálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení.
 
Hustota pravděpodobnosti několika normálních rozdělení.

Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci  . Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.

Hustota pravděpodobnostiEditovat

Hustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž hodnotu pro libovolný zvolený prvek z množiny možných vzorků (hodnot náhodné proměnné) lze interpretovat jako relativní četnost hodnoty tohoto prvku v rámci celé množiny možných vzorků daného času.

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, která se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti, anglicky Probability Density Function, PDF). Pro spojitou náhodnou veličinu obecně neplatí, že také hustota pravděpodobnosti je spojitá.

Je-li   hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny  , pak platí

 ,

kde   je definiční obor veličiny  . Pro hodnoty   mimo definiční obor   je hustota pravděpodobnosti nulová, takže   pro  .

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti   je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina   nabývá hodnotu z intervalu  , tedy

 

Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z předchozího vztahu. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy

 

Distribuční funkce spojité veličinyEditovat

Distribuční funkce   jednorozměrné reálné náhodné veličiny   se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí  :

 

Distribuční funkce je neklesající, zprava spojitá, její limita   je nula, v   pak jedna.

Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako  .

Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti   se distribuční funkce dá spočítat také podle vztahu

 

VlastnostiEditovat

Platí, že   a  .

Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

 

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti   a distribuční funkcí   platí vztah

 ,

pokud derivace distribuční funkce v daném bodě   existuje.

Důležitá spojitá rozděleníEditovat

Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnostiEditovat

Sdružená a marginální pravděpodobnostEditovat

Mějme  -rozměrný náhodný vektor  , jehož složkami jsou diskrétní náhodné veličiny  . Jejich rozdělení lze popsat sdruženou (simultánní) pravděpodobností

 

Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina   nabude hodnotu  , náhodná veličina   nabude hodnoty  , atd. pro všechna   a  .

Pro   sdružené pravděpodobnosti zobrazují v korelační tabulce

x       Součet
         
         
         
Součet       1

Pravděpodobnosti   a   jsou marginální (okrajové) pravděpodobnosti. Platí tedy

 
 

Dále platí

 

Sdružená a marginální distribuční funkceEditovat

Sdruženou (simultánní) distribuční funkci lze pro  -rozměrný náhodný vektor   diskrétních veličin   definovat jako

 

Sdružená distribuční funkce (pro dvě proměnné X, Y) splňuje podmínky

 
 

Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.

Marginální (okrajové) distribuční funkce lze pro vektor dvou proměnných   a   zapsat vztahy

 
 

Podobně lze marginální distribuční funkce určit také v případě vícerozměrných náhodných vektorů.

Sdružená a marginální hustota pravděpodobnostiEditovat

Rozdělení dvou spojitých náhodných veličin je možné popsat sdruženou hustotou pravděpodobnosti  . Sdružená hustota pravděpodobnosti musí splňovat podmínku

 

Marginální hustoty pravděpodobnosti se určí jako

 
 

Sdruženou distribuční funkci pak je

 

Ze sdružené distribuční funkce lze naopak získat sdruženou hustotu pravděpodobnosti

 


Podobně lze postupovat také v případě  -rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti je pak možné získat jako

 

Marginální pravděpodobnost lze definovat pro libovolnou skupinu   veličin ( ) daného  -rozměrného náhodného vektoru. Rozdělení je závislé pouze na daných   veličinách a na zbývajících   veličinách nezávisí. Pro   je nutno rozlišovat podvojnou nezávislost a nezávislost vzájemnou.

Jsou-li veličiny   vzájemně nezávislé, pak platí

 
 
 

Podmíněné rozdělení pravděpodobnostiEditovat

Podmíněné rozdělení náhodné veličiny   vzhledem k veličině   je rozdělení veličiny   za podmínky, že náhodná veličina   nabyla hodnoty  .

Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.

Pro dvě diskrétní náhodné veličiny   je možné podmíněnou pravděpodobnost veličiny   vzhledem k   zapsat jako

 

pro  , kde   je marginální pravděpodobnost a   je pravděpodobnost sdružená.

Obdobně vznikne pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny   vzhledem k   vztah

 

pro  , kde   je marginální pravděpodobnost a   je opět sdružená pravděpodobnost.

Podmíněná distribuční funkceEditovat

Podmíněné distribuční funkce zapsat zapsat jako

 
 

Podmíněná hustota pravděpodobnostiEditovat

U dvourozměrného náhodného vektoru, jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny   a  , lze podmíněné hustoty pravděpodobnosti vyjádřit jako

 

pro   a

 

pro  , kde   je sdružená hustota pravděpodobnosti a   a   jsou marginální hustoty pravděpodobnosti.

Pro podmíněné distribuční funkce spojitých náhodných veličin   pak platí

 
 

Charakteristiky rozdělení náhodné veličinyEditovat

Související informace naleznete také v článku Charakteristika náhodné veličiny.

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky poskytují pouze základní a hrubou představu o náhodné veličině, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.

Důležitými charakteristikami rozdělení jsou střední hodnota a rozptyl.

LiteraturaEditovat

Související článkyEditovat