Poissonovo rozdělení

Hustota pravděpodobnosti
Distribuční funkce

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti popisuje náhodnou veličinu, která vyjadřuje počet výskytů jevů v určitém intervalu (času, délky, objemu), když jevy nastávají nezávisle na sobě.

Například, občas nám přijde dopis (to je náš jev, událost). Během roku dostaneme 1460 dopisů, t.j. v průměru 4 za den. Počet příchozích dopisů během jednoho dne (to je náš časový interval) se řídí Poissonovým rozdělením. Nejvyšší je pravděpodobnost, že přijdou 4 dopisy. Pravděpodobnost dvou dopisů je o něco menší. Pravděpodobnost, že jich přijde 100, je téměř nulová.

Poissonovo rozdělení bývá označováno jako rozdělení řídkých jevů, neboť se podle něj řídí četnosti jevů, které mají velmi malou pravděpodobnost výskytu. Poissonovo rozdělení se používá k aproximaci binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. . Obvykle můžeme binomické rozdělení aproximovat Poissonovým tehdy, pokud a . V takovém případě je .

Rozdělení pravděpodobnostiEdit

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti lze pro všechny hodnoty   náhodné veličiny   vyjádřit pomocí parametru   jako

 
pozn. e značí Eulerovo číslo

Charakteristiky rozděleníEdit

Poissonovo rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota Poissonova rozdělení je

 

Rozptyl má hodnotu

 

Pro koeficient šikmosti dostaneme

 

Hodnota koeficientu špičatosti je

 

Momentová vytvořující funkce Poissonova rozdělení má tvar

 

Vícerozměrné Poissonovo rozděleníEdit

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení je rozdělení náhodného vektoru  , jehož složky   pro   mají Poissonovo rozdělení s parametry  . Sdruženou pravděpodobnost vícerozměrného Poissonova rozdělení lze vyjádřit jako

 

pro  .

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

 

PříkladyEdit

  • Velký význam má Poissonovo rozdělení v teorii hromadné obsluhy, kde popisuje takové náhodné jevy, jako jsou příchody zákazníků.
  • Počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.
  • Počet aut, která projedou určitým místem za daný čas.
  • Počet branek za fotbalový zápas.

Související článkyEdit

Externí odkazyEdit