Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti)

Charakteristická funkce je v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice jedna z funkcí náhodné veličiny. Využívá se (mimo jiné) pro charakterizaci a určování vlastností náhodných veličin a při zkoumání limitního chování a limitních vět náhodných veličin.

Charakteristická funkce zcela určuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Pokud existuje hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny, pak je charakteristická funkce Fourierovou transformací této hustoty.

Každá náhodná veličina má svou charakteristickou funkci, tedy jinak řečeno – charakteristická funkce náhodné veličiny existuje vždy. V tom se liší například od momentové vytvořující funkce, která není definována pro všechny náhodné veličiny.

DefiniceEditovat

Nechť   je náhodná proměnná a nechť   je její distribuční funkce. Komplexní funkce reálné proměnné   definovanou vztahem:

 

je charakteristická funkcí náhodné veličiny  .

V uvedeném vztahu písmeno   označuje tzv. imaginární jednotku komplexního čísla  ,   je množina reálných čísel,   je množina komplexních čísel a  . Pro imaginární jednotku uvedenou v definici platí známý vztah:  . Ve výrazu v závorce na konci vztahu označuje symbol   hustotu náhodné veličiny. Poslední rovnost ovšem platí pouze v tom případě, pokud existuje hustota náhodné veličiny (pokud neexistuje, pak samozřejmě nemůžeme charakteristickou funkci pomocí ní vyjádřit).

Dále můžeme definovat vztah pro   následovně:

 

A díky tomuto vztahu můžeme psát:

 

Pokud je uvažována náhodná veličina   diskrétní, pak platí:

 

ZobecněníEditovat

Předchozí definice se dá zobecnit i pro složitější (jiné než jednorozměrné) náhodné veličiny.

  • Pokud uvažujeme následující náhodný vektor  , pak jeho charakteristická funkce je definována takto:
 
Kde  .
  • Pokud   je náhodná matice typu  , pak pro   pak platí:
 
  • V případě, že   je komplexní náhodná proměnná a  , pak pro charakteristickou funkci platí následující vztah:
 
  • V případě, že   je komplexní náhodný vektor a  , pak pro jeho charakteristickou funkci platí zase následující vztah:
 
  • A v případě, že   je stochastický (náhodný) proces, pak pro každou funkci   takovou, že integrál   konverguje pro téměř všechny realizace  , platí následující:
 

V předchozím značení použité symboly vyjadřují:

  •   Označuje transpozici (byla provedena matici nebo vektor)
  •   Označuje stopu matice (zkratka z anglického slova trace)
  •   Označuje reálnou část komplexního čísla
  •   Označuje komplexně sdružené číslo
  •   Označuje konjugovanou transpozici (v tomto případě komplexního vektoru), tedy:  

Označení charakteristické funkceEditovat

V závislosti na literatury se používá různé označení (různými řeckými písmeny), např.:

  •  
  •  

Vlastnosti charakteristické funkceEditovat

Charakteristická funkce má několik důležitých vlastností. Jednou z těchto vlastností je, že charakteristická funkce v bodě 0 je rovna 1, tedy matematicky zapsáno:  .

Platnost této rovnosti se dá ukázat následujícím postupem:

 

Další vlastností je, že charakteristická funkce je ohraničena, tedy:   pro všechny  .

Pro charakteristickou funkci ze záporného argumentu zase platí následující:   pro všechny  , kde   vyjadřuje komplexně sdružené číslo k číslu  

Charakteristická funkce   je stejnoměrně spojitá na množině reálných čísel  

Charakteristická funkce   je také pozitivně semidefinitní, tedy platí:

 
Přičemž nerovnost platí pro libovolná komplexní čísla   a libovolná reálná čísla  , pro  . Symbol   označuje komplexně sdružené číslo k číslu  .

Existuje vztah mezi charakteristickými funkcemi náhodných proměnných a distribučními funkcemi náhodných proměnných. Tedy pokud máme dvě náhodné proměnné   a  , pak platí následující:

 

Pokud existuje hustota   náhodné veličiny  , přičemž tato náhodná veličina má distribuční funkci  , pak lze charakteristickou funkci této náhodné veličiny vyjádřit i v následujícím tvaru:

 

Pro charakteristickou funkci součtu náhodných veličin, tedy pro takovou náhodnou veličinu  , která je součtem   nezávislých náhodných veličin:   platí vztah:

 

Pro náhodnou veličinu následujícího tvaru:   zase platí:

 

Pomocí charakteristické funkce se dají poměrně jednoduše vypočítat i momenty náhodných veličin (pokud tyto samozřejmě existují). Předpokládejme, že pro   ,   je  . Pak víme, že k-té derivace, které označíme   funkce   existují a platí pro ně následující vztah:

 

Existence charakteristické funkceEditovat

Každá náhodná veličina má svou charakteristickou funkci, tedy jinak řečeno – charakteristická funkce náhodné veličiny existuje vždy. V tom se liší například od momentové vytvořující funkce, která není definována pro všechny náhodné veličiny.

Pokud tedy máme libovolnou náhodnou veličinu   a  , pak určitě víme, že pro každé   platí (např. Pro funkci kosinus), že:   (analogicky pro funkci sinus) . Tedy určitě víme, že funkce  ,   a   jsou spojité a ohraničené na množině  . Z toho tedy dostáváme následující:

 
 
 

Tedy Lebesgueovy-Stieltjesovy integrály existují a jsou konečné, ohraničené.

PříkladyEditovat

Pro konkrétní rozdělení pravděpodobnosti má charakteristická funkce následující vyjádření:

Rozdělení pravděpodobnosti Charakteristická funkce
Degenerované rozdělení    
Alternativní rozdělení    
Binomické rozdělení    
Negativní binomické rozdělení    
Poissonovo rozdělení    
Rovnoměrné rozdělení    
Laplaceovo rozdělení    
Normální rozdělení    
Χ² rozdělení    
Cauchyho rozdělení    
Gama rozdělení    
Exponenciální rozdělení    
Mnohorozměrné normální rozdělení    
Mnohorozměrné Cauchyova rozdělení    

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Characteristic function (probability theory) na anglické Wikipedii a Charakteristická funkcia (teória pravdepodobnosti) na slovenské Wikipedii.

LiteraturaEditovat

  • RIEČAN, Bieloslav; LAMOŠ, František. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava: ALFA - Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1984. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 320. (slovensky) 
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava: Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344. (slovensky) 
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava: Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 150. (slovensky)