Otevřít hlavní menu

Pseudoinverze matice

Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Moore–Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí .

Moore–Penroseova pseudoinverzeEditovat

DefiniceEditovat

Moore–Penroseovou pseudoinverzí matice   nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic

(1)  
(2)  
(3)  
(4)  

tzv. Moore–Penroseových podmínek. Moore–Penroseovu pseudoinverzi značíme  . (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)

Výpočet, alternativní definiceEditovat

Nechť  ,  . Uvažujme singulární rozklad

 

kde

 

pak

 

Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.

VlastnostiEditovat

Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení   a provedeme-li jeho restrikci na  , kde je bijektivní, pak Moore–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.

Má-li matice   lineárně nezávislé sloupce, pak   je regulární a

 

má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak   je regulární a

 

Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak

 

VyužitíEditovat

Uvažujme lineární aproximační problém

 

pak

 

je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice   lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,

 

navíc   má minimální normu mezi všemi  , které výraz vlevo minimalizují.


Další zobecněné inverze odvozené od Moore–Penroseových podmínekEditovat

Uvažujme Moore–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:

  • (1)-inverze, značíme  ,
  • (1,2)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,3)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,4)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,3,4)-inverze, značíme  .

Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice  , pak platí

 

pro libovolné matice  ,  ,  .

(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí  .

 

(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou  , tedy

 

(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou  , tedy

 

(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Moore–Penroseova pseudoinverze.

V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.

Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverzeEditovat

Je-li navíc matice   čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například

(1k)  
(5)    
(5k)  
(6k)  

Drazinova inverzeEditovat

Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám

 

Grupová inverzeEditovat

Drazinova inverze pro  , tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se  .

Spektrální inverzeEditovat

Je-li čtvercová singulární matice   diagonalizovatelná, tj.  , kde   je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu

 

Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.

Je-li navíc matice   normální, tj.  ,   pak její spektrální inverze a Moore–Penroseova pseudoinverze splývají.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Adi Ben-Israel, Thomas N. E. Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition).
  • M. Zuhair Nashed (Ed.), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.