Transpozice matice

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice ${\boldsymbol {A}}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici ${\boldsymbol {A}}$ a značí se ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

Transponovanou matici${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ k matici ${\boldsymbol {A}}$ lze získat převrácením prvků podél její hlavní diagonály. Opakovaná operace transpozice na transponované matici vrátí prvky do původní polohy.

$({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji}\,$

Pokud má matice ${\boldsymbol {A}}$ rozměry $(m,n)$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$.

Ukázky

• Transpozicí matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}$ vznikne ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}$.
• ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}\quad \,$

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

$(c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,$

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

$({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\,$

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

$\left({\boldsymbol {AB}}\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,$

• Transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,$

• Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:

$\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)=\det {\boldsymbol {A}}\,$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Transpose na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Inverzní matice
• Násobení matic
• Matice

Externí odkazy

• Eduard Krajník - Maticový počet Archivováno 26. 7. 2020 na Wayback Machine.

Portály: Matematika