Elementární matice

Elementární matice je v matematice taková matice, která se odlišuje od jednotkové matice jednou elementární řádkovou operací. Elementární matice generují obecnou lineární grupu GLn(R), pokud R je komutativní těleso. Levé násobení (násobení zleva) elementární maticí reprezentuje elementární řádkové operace, zatímco pravé násobení (zprava) reprezentuje elementární sloupcové operace.

Základní řádkové operace se používají v Gaussově eliminační metodě pro převod matice na horní trojúhelníkovou matici. Také se používají při Gaussově eliminační metodě pro další převod matice na redukovanou horní trojúhelníkovou matici.

Základní řádkové operaceEditovat

Existují tři typy elementárních matic, které odpovídají třem typům řádkových operací (případně sloupcovým operacím):

Prohození řádků
Řádek matice může být prohozen s jiným řádkem.
 
Násobení řádku
Každý prvek v řádku se znásobí nenulovou konstantou.
 
Řádek sčítání
Řádek může být nahrazen součtem tohoto řádku s násobkem jiného řádku.
 

Pokud E je elementární matice, protože popsaný níže na aplikovat elementární řádkové operace na matice A, jeden násobí A elementární maticí zleva, EA. Elementární matici pro jakoukoli řádkovou operaci lze získat provedením operace na jednotkovou matici. Tento fakt lze chápat jako instanci Jonedova lemmatu aplikovaného na kategorii matic.

Prohození řádkůEditovat

Související informace naleznete také v článku Permutační matice.

Prvním typem řádkové operace na matici A je prohození všech prvků řádku i matice s jejich protějšky v řádku j. Odpovídající elementární matici získáme z jednotkové matice prohozením řádku i a řádku j.

 

Matice TijA tedy dostaneme vzájemným prohozením řádků i a j matice A.

VlastnostiEditovat

  • Inverze této matice je tatáž matice: Tij−1 = Tij.
  • Protože determinant jednotkové matice je roven jedné, det(Tij) = −1. Z toho plyne, že pro jakoukoli čtvercovou matici A (správné velikosti), máme det(TijA) = −det(A).

Násobení řádkuEditovat

Dalším typem řádkové operace na matici A je znásobení všech prvků v řádku i číslem m, kde m je nenulový skalár (obvykle reálné číslo). Odpovídající elementární matice je diagonální matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou jedničky, kromě pozice i, kde je m.

 

Matici Di(m)A tedy vyrobíme z A vynásobením řádku i číslem m.

VlastnostiEditovat

  • Pro inverzi této matice platí: Di(m)−1 = Di(1/m).
  • Matice a její inverze jsou diagonální matice.
  • det(Di(m)) = m. Proto pro čtvercovou matici A (správné velikosti), máme det(Di(m)A) = m det(A).

Sčítání řádkůEditovat

Posledním typem řádkové operace na matici A je přičtení řádku j znásobeného skalární hodnotou m k řádku i. Odpovídající elementární matici vytvoříme z jednotkové matice doplněním hodnoty m na pozici (i, j).

 

Matici Lij(m)A tedy vytvoříme z A přičtením m násobku řádku j k řádku i. Matici A Lij(m) vytvoříme z A přičtením m násobku sloupce i ke sloupci j.

VlastnostiEditovat

  • Tyto transformace jsou určitým druhem zkosení (anglicky transvections).
  • Inverzi této matice popisuje vztah Lij(m)−1 = Lij(−m).
  • Matice a její inverze jsou trojúhelníkové matice.
  • det(Lij(m)) = 1. Proto pro čtvercovou matici A (správné velikosti) máme det(Lij(m)A) = det(A).
  • Transformace sčítání řádků vyhovuje Steinbergovým relacím.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Elementary matrix na anglické Wikipedii.

Související informace naleznete také v článku Lineární algebra#Literatura.

Související článkyEditovat