Jonedovo lemma

teorém v teorii kategorií

V matematice je Jonedovo lemma pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v teorii kategorií.[1] Je to abstraktní tvrzení o funktorech druhu morfismy do daného objektu. Jde o značné zobecnění Cayleyho věty z teorie grup (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje vnoření libovolné kategorie do kategorie funktorů (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie reprezentovatelných funktorů a jejich přirozených transformací chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Je pojmenováno po Nobuovi Yonedovi.

ObecninyEditovat

Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání (lokálně malé) kategorie   by se měla studovat kategorie všech funktorů z   do   (kategorie množin s funkcemi jako svými morfismy).   je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z   do   může být nahlížen jako "reprezentace"   pomocí známých struktur. Původní kategorie   je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v   chyběly či byly "skryty". Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia okruhu zkoumáním jeho modulů. Okruh nahradí kategorii   a kategorie modulů nad tímto okruhem je kategorií funktorů definovaných na  .

Formální zněníEditovat

Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie   do kategorie množin,  . Je-li   lokálně malá kategorie (tj. hom-sady jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt   z   dává vzniknout přirozenému funktoru do  , zvanému hom-funktor. Tento funktor se značí:

  .

Tento (kovariantní) hom-funktor   zobrazí   do množiny morfismů   a morfismus   na morfismus   (složení s   vlevo), který zobrazuje morfismus   v   na morfismus   v   . Konkrétně,

 
  .

Nechť je   libovolný funktor z   do   . Pak Jonedovo lemma říká, že:

Pro každý objekt   z   jsou přirozené transformace   z   do   ve vzájemně jednoznačné korespondenci s prvky  , tedy:

 .

Tento isomorfismus je navíc přirozený v   i  , pokud obě strany vezmeme jako funktory z   do  .

Zde zápis   označuje kategorii funktorů z   do   .

Máme-li přirozenou transformaci   z   do  , odpovídající prvek   je   ;[pozn. 1] dále máme-li prvek   z  , odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z   .

Kontravariantní verzeEditovat

Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká kontravariantních funktorů z   do   . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor

 

který zobrazuje   na hom-sadu   . Pro libovolný kontravariantní funktor   z   do   Jonedovo lemma říká, že

 

Ustálené názvoslovíEditovat

Použití   pro kovariantní hom-funktor a   pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou EGA Alexandra Grothendiecka ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek. [pozn. 2]

Mnemotechnické "padání do něčeho" může být užitečné při pamatování si, že   je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno   klesá (je dolní index),   přiřadí k objektu   morfismy z   do   .

DůkazEditovat

Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím komutativním diagramem:

Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace   je zcela určena  , protože pro každý morfismus   máme

  .

Navíc jakýkoli prvek   tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.

Jonedovo vnořeníEditovat

Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor   z   do   dalším hom-funktorem   . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

 

Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus  , přidružená přirozená transformace se značí   .

Pokud zobrazíme každý objekt   v   na přidružený hom-funktor   a každý morfismus   na odpovídající přirozenou transformaci  , určíme tím kontravariantní funktor   z   do  , kategorie funktorů všech (kovariantních) funktorů z   do   .   se dá interpretovat jako kovariantní funktor :

 

Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor   je plně věrný, a proto určuje vnoření   do kategorie funktorů do   . Sada všech funktorů   je podkategorií   . Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie   je izomorfní ke kategorii   .

Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

 

Proto   dává vzniknout kovariantnímu funktoru z   do kategorie kontravariantních funktorů do   :

 

Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie   může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z   do   skrz   . Tomuto se říká Jonedovo vnoření.

Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je kana v rámci písma Hiragana, Jo. [2]

Reprezentovatelný funktorEditovat

Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii reprezentovány pomocí předsvazků, a to plně a věrně. Jinými slovy,

 

pro nějaký předsvazek P. Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce svazky, a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za toposy. Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.


Z hlediska (ko)koncového kalkuluEditovat

Pro dvě kategorie   a   se dvěma funktory   lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující konec:

 

Pro všechny funktory   a   jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.[3]

 
 

Preaditivní kategorie, okruhy a modulyEditovat

Preaditivní kategorie je kategorie, v které sady morfismů tvoří abelovské grupy a skládání morfismů je bilineární; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění okruhů. Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.

Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii aditivních kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ kategorie modulů nad původní kategorií. Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní — ve skutečnosti je zvětšená verze abelovskou kategorií, což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu   je rozšířená kategorie kategorií všech pravých  -modulů a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:

     pro všechny pravé  -moduly  .

Vztah ke Cayleyově větěEditovat

Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění Cayleyovy věty z teorie grup. Aby to bylo zřejmé, nechť je   kategorie s jediným objektem   s tím, že každý morfismus je izomorfismus (tj. grupoid s jediným objektem). Pak   tvoří grupu pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V tomto kontextu kovariantní funktor   sestává z množiny   a grupového homomorfismu  , kde   je grupa permutací  ; čili   je G-sada . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako ekvivariantní zobrazení mezi  -sadami: množinová funkce   s tou vlastností, že   pro všechna   v   a   v  . (Na levé straně rovnice   označuje akci   na   a na pravé straně akci na  .)

Nyní, kovariantní hom-funktor   odpovídá akci   na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro   říká, že

  ,

to jest, ekvivariantní zobrazení z této  -sady na sebe jsou v bijekci s  . Jde si však povšimnout, že a) tyto mapy tvoří grupu podle skládání, což je podgrupa   a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový homomorfismus. (V opačném směru každé   v   odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle  .) Takže   je izomorfní k nějaké podgrupě  , což je přesné znění Cayleyovy věty.

HistorieEditovat

Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín “Jonedovo lemma” byl vytvořen Saundersem Mac Lanem po jeho rozhovoru s Jonedou. [4]

Související článkyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Vzpomeňme, že  , takže je onen poslední výraz dobře definován a zobrazuje morfismus z   do   na nějaký prvek z  .
  2. Důležitou výjimkou z moderních textů algebraické geometrie, jejíž konvence se liší od té použité v tomto článku, je text Commutative algebra with a view toward algebraic geometry / David Eisenbud (1995), který používá   ve smyslu kovariantního hom-funktoru. Avšak pozdější kniha The geometry of schemes / David Eisenbud, Joe Harris (1998) naopak používá   ve smyslu kontravariantního hom-funktoru.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Yoneda lemma na anglické Wikipedii.

  1. RIEHL, Emily. Category Theory in Context [online]. Dostupné online. 
  2. Yoneda embedding [online]. nLab [cit. 2019-07-06]. Dostupné online. 
  3. Loregian, Fosco. arXiv: 1501.02503[math.CT]
  4. KINOŠITA, Jošiki. Prof. Nobuo Yoneda passed away [online]. 23. 4. 1996 [cit. 2013-12-21]. Dostupné online. 

Externí odkazyEditovat