LU rozklad

LU rozklad matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou dalších matic, z nichž jedna (L z anglického lower) je v dolním trojúhelníkovém tvaru a má na celé hlavní diagonále číslo jedna a druhá (U z anglického upper) je v horním trojúhelníkovém tvaru a na hlavní diagonále má pouze nenulové prvky.

DefiniceEditovat

Mějme   regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice   a  , jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení

  •  
  •   je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále.
  •   je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále.

Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice  . [1]

Pokud nemáme matici   takovou u které není třeba prohazovat sloupce, pak lze využít rozklad  , kde   je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází sloupce matice   a zbytek rozkladu zůstane stejný. [2]

VyužitíEditovat

Během výpočtu soustavy   může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice   i horní trojúhelníková matice   tak, že  .

Potom lze nahradit v této soustavě   za   a označit  . Z toho plyne, že   a  .

To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana   v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.[3]

PříkladEditovat

 

 

 .[4]

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

Související článkyEditovat