Speciální lineární grupa

Speciální lineární grupa je pojem z teorie grup. Jde o grupu lineárních automorfizmů nějakého vektorového prostoru, které mají determinant jedna. Grupová operace je operace skládání zobrazení.

Ekvivalentně se dá definovat jako množina regulárních matic $n\times n$, které mají determinant jedna. Pro $n$-rozměrný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ se příslušná speciální lineární grupa značí $SL(V)$, resp. $SL(n,F)$.

Podobně se definuje speciální lineární grupa pro matice nad nějakým okruhem. Regulární matice nad okruhem obecně nejsou invertibilní, matice determinantu 1 ale ano. Pro okruh celých čísel dostáváme grupu celočíselných matic $n\times n$ s jednotkovým determinantem $SL(n,\mathbb {Z} )$.

Vlastnosti

Speciální lineární grupy nad reálnými resp. komplexnímy čísly $SL(n,\mathbb {R} )$ resp. $SL(n,\mathbb {C} )$ tvoří pro $n>1$ jednoduchou Lieovu grupu dimenze $n-1$ resp. $2n-2$. Tyto grupy jsou nekompaktní. Maximální kompaktní podgrupa $SL(n,\mathbb {R} )$ je ortogonální grupa $SO(n)$ a maximální kompaktní podgrupa $SL(n,\mathbb {C} )$ je unitární grupa $SU(n)$. Fundamentální grupa $SL(n,\mathbb {C} )$ je triviální, fundamentální grupa $SL(n,\mathbb {R} )$ je izomorfní $\mathbb {Z}$ pro $n=2$ a $\mathbb {Z} _{2}$ pro $n>2$.

Grupa $SL(2,\mathbb {C} )$ je izomorfní dvojitému nakrytí Lorentzovy grupy $SO(3,1)$.

Pro konečné těleso $F\simeq GF(p^{k})$ jsou konečné i grupy $SL(n,F)$. Odfaktorováním centra $Z$ dostáváme Chevalleyho speciální lineární grupy

$A_{n}(p^{k})=SL(n+1,F)/Z$

které jsou jednoduché kromě $A_{1}(2)$ a $A_{1}(3)$.