Otevřít hlavní menu

Speciální lineární grupa

Speciální lineární grupa je pojem z teorie grup. Jde o grupu lineárních automorfizmů nějakého vektorového prostoru, které mají determinant jedna. Grupová operace je operace skládání zobrazení.

Ekvivalentně se dá definovat jako množina regulárních matic , které mají determinant jedna. Pro -rozměrný vektorový prostor nad tělesem se příslušná speciální lineární grupa značí , resp. .

Podobně se definuje speciální lineární grupa pro matice nad nějakým okruhem. Regulární matice nad okruhem obecně nejsou invertibilní, matice determinantu 1 ale ano. Pro okruh celých čísel dostáváme grupu celočíselných matic s jednotkovým determinantem .

VlastnostiEditovat

Speciální lineární grupy nad reálnými resp. komplexnímy čísly   resp.   tvoří pro   jednoduchou Lieovu grupu dimenze   resp.  . Tyto grupy jsou nekompaktní. Maximální kompaktní podgrupa   je ortogonální grupa   a maximální kompaktní podgrupa   je unitární grupa  . Fundamentální grupa   je triviální, fundamentální grupa   je izomorfní   pro   a   pro  .

Grupa   je izomorfní dvojitému nakrytí Lorentzovy grupy  .

Pro konečné těleso   jsou konečné i grupy  . Odfaktorováním centra   dostáváme Chevalleyho speciální lineární grupy

 

které jsou jednoduché kromě   a  .