Samoadjungovaný operátor

Samoadjungovaný operátor je lineární operátor se zvláštními vlastnostmi. Operátory a především samoadjungované operátory studuje funkcionální analýza. Samoadjungovaný operátor je zobecněním samoadjungované matice.

DefiniceEditovat

V této části je uvedena definice samoadjungovaného operátoru. V první části pro omezené operátory, ve druhé pro neomezené. Vzhledem k tomu, že omezené operátory lze definovat vždy na celém vektorovém prostoru, je omezený samoadjungovaný operátor speciálním případem neomezeného samoadjungovaného operátoru.

Omezené operátoryEditovat

Nechť   je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru   a skalárního součinu   a nechť   je omezený lineární operátor. Pokud operátor   splňuje rovnici

 

nazývá se samoadjungovaný.[1]

Neomezené operátoryEditovat

Nechť   je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru   a skalárního součinu   a nechť   je hustě definovaný operátor. Nechť   je prostor všech   takový, že lineární funkcionál

 

je spojitý. Tento funkcionál má definiční obor  , a proto je hustě definovaný v  . Proto má jednoznačně spojité rozšíření na celé  . Podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje jednoznačně určený prvek   takový, že

 

platí pro všechna  . Operátor   s definičním oborem   je k   jednoznačně přiřazený sdružený operátor.

Operátor   se nazývá samoadjungovaný, pokud platí   a   tedy pokud operátor   se svým adjungovaným operátorem   mají stejný definiční obor.[2]

HistorieEditovat

Základy teorie neomezených operátorů položil John von Neumann v roce 1929, a byl také první, kdo rozpoznal nutnost rozlišovat symetrické a samoadjungované operátory. Protože pouze pro samoadjungované operátory může existovat spektrální rozklad popsaný v poslední části tohoto článku. Von Neumann nazýval symetrické operátory hermitovskými. Zjistil, že je pro spektrální rozklad mimo jiné důležité, aby operátor nepřipouštěl žádná symetrická rozšíření, a nazval tuto třídu operátorů maximálně Hermitovskou. Tento požadavek však není postačující pro spektrální větu, která předpokládá samoadjungované operátory. Na podnět Erharda Schmidta von Neumann nazval samoadjungované operátory hypermaximální. Pojem samoadjungovaný operátor zavedl Marshall Harvey Stone.[3]

Příbuzné objektyEditovat

Samoadjungovaná maticeEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Samoadjungovaná matice.

Nechť   je reálné nebo komplexní těleso a nechť je   je skalární součin na   pak   je Hilbertův prostor. Matice   se nazývá samoadjungovaná, pokud pro všechna   platí

 

Matici   chápeme jako Lineární zobrazení na  . Protože   je zobrazení mezi vektorovými prostory konečné dimenze, je zobrazení reprezentované   omezené, a proto je spojité a tedy také hustě definované. Samoadjungovaná matice je tedy také samoadjungovaným operátorem. Pokud uvažujeme   se svým standardním skalárním součinem, pak symetrické matice odpovídají samoadjungovaným. V případě   s odpovídajícím kanonickým skalárním součinem jsou Hermitovské matice samoadjungované.

Symetrický operátorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Symetrický operátor.

Operátor   se nazývá symetrický, pokud pro všechny   platí

 

Na rozdíl od samoadjungovaného operátoru se nevyžaduje, aby operátor   byl hustě definovaný (ale v literatuře to není jednotné). Je-li   hustě definovaný (a v důsledku toho je adjungovaný operátor dobře definovaný), pak je   symetrický, pravě tehdy, když platí  . Pro omezené operátory se pojmy samoadjungovaný a symetrický shodují. Proto jsou symetrické, ale ne samoadjungované operátory vždy neomezené. Hellingerova-Toeplitzova věta kromě toho říká, že každý symetrický operátor definovaný na celém   je spojitý a proto je také samoadjungovaný.

V podstatě samoadjungovaný operátorEditovat

Operátor   se nazývá v podstatě samoadjungovaný, pokud je symetrický, hustě definovaný a jeho uzávěr je samoadjungovaný. V podstatě samoadjungovaný operátor můžeme tedy vždy rozšířit na samoadjungovaný.

PříkladyEditovat

Symetrické maticeEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Symetrická matice.

Symetrické matice   můžeme chápat jako operátory  . S ohledem na standardní skalární součiny je každá symetrická matice samoadjungovaná, to jest je samoadjungovaným operátorem.

Operátor -i d/dxEditovat

Pokud je operátor omezený, pak, jak již bylo uvedeno, jsou pojmy symetrický operátor, v podstatě samoadjungovaný operátor a samoadjungovaný operátor ekvivalentní. V případě neomezených operátorů implikuje samoadjungovanost symetrii, ale obráceně to neplatí. Protipříklad ukazuje následující dvojice:

  1. Uvažujeme Hilbertův prostor   a diferenciální operátor   s dirichletovskými okrajovými podmínkami  .
  2. a pro jeho rozšíření   požadujeme pouze „periodičnost“:  .

Z řetězu rovností

 

plyne, že operátory   pro   jsou symetrické. Avšak pouze operátor   je samoadjungovaný, protože v prvním případě je definiční obor zbytečně omezený. Pak nemá vůbec žádné vlastní funkce, protože ty jsou všechny ve tvaru  , takže požadovaná podmínka   bude porušena.

Laplaceův operátorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Laplaceův operátor.

Laplaceův operátor   je neomezený operátor. S ohledem na  -skalární součiny je samoadjungovaný. To znamená, že je pro tento skalární součin symetrický, což pro všechny   znamená

 

a je hustě definovaný. Diferenciál je zde potřeba chápat ve slabém smyslu. Pro definiční obor tedy platí

 

Tomu vyhovuje Sobolevův prostor   kvadraticky integrovatelné a dvakrát slabě diferencovatelné funkce, které jsou husté v  . Symetrie Laplaceova operátoru plyne z Greenových identit.

Operátor násobeníEditovat

Nechť   je prostor s mírou a   je měřitelná funkce. Operátor násobení   s definičním oborem   definujeme vztahem

 

Tento operátor je neomezený a hustě definovaný, protože pro   obsahuje   všechny  -třídy, které mimo z   zanikají, a kvůli   je   hustý. Kromě toho je   s ohledem na  -skalární součiny symetrický. Operátor je také samoadjungovaný. Protože pro symetrický operátor, jmenovitě   platí, že   a   znamená to, že pro samoadjungovaný operátor musí platit  . Nechť   je charakteristická funkce z  . Pro   a   platí

 

To znamená, že   platí skoro všude. Tam, kde   bodově konverguje, platí   skoro všude. Protože   leží v   je  , odtud   čímž jsme dokázali, že   je samoadjungovaný.

KritériaEditovat

Pro operátor   hustě definovaný v Hilbertově prostoru   existují další kritéria samoadjungovanosti.[4][5][6]

První kritériumEditovat

  je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v   platí

  1.  .

Druhé kritériumEditovat

  je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v  , pokud jsou splněny následující podmínky:

  1.   je symetrický.
  2.   je uzavřený.
  3. Nulové prostory operátorů   a   jsou rovné  .

U nulových prostorů vyskytujících se v poslední podmínce zjišťujeme jejich dimenze. V případě symetrického operátoru   to nazýváme defektní indexy. Poslední zmíněnou podmínku lze proto také vyjádřit, že defektní indexy   jsou rovny 0.

Třetí kritériumEditovat

Podmínky 2 a 3 druhého kritéria lze interpretovat jako jedinou, a tímto způsobem dostaneme pro samoadjungovanost   další rovnocenné kritérium:

  je samoadjungovaný operátor v  , právě tehdy, když pokud jsou splněny následující podmínky:

  1.   je symetrický.
  2. Obor hodnot operátorů   a   je roven  .

Čtvrté kritériumEditovat

Čtvrté kritérium ukazuje, že samoadjungovanost hustě definovaného operátoru je v podstatě určeno polohou jeho spektra v reálných číslech:

  je samoadjungovaný operátor v   právě tehdy, když jsou splněny následující podmínky:

  1.   je symetrický.
  2. Spektrum   je tvořeno pouze reálnými čísly, tedy  .

VlastnostiEditovat

Nechť   je hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru  

  • pak   je samoadjungovaný operátor s  

Nechť   je samoadjungovaný operátor na Hilbertově prostoru  

  • Pro spektrum   operátoru   platí   Neexistují tedy žádné spektrální hodnoty, které jsou vlastními komplexními čísly. Především samoadjungovaná matice má pouze reálné spektrum, případně vlastní čísla.
  • Operátor   je pozitivní, což znamená, že pro všechny   platí   právě tehdy, když pro spektrum   platí inkluze  .
  • Pokud   platí pro všechna  , pak existuje samoadjungovaný operátor   splňující   pro všechna   takový, že platí  .

Friedrichsovo rozšířeníEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Friedrichsovo rozšíření.

Nechť   je Hilbertův prostor a   hustě definovaný polootevřený operátor. Pro operátor   znamená polootevřený, že pro operátor platí buď nerovnost   nebo nerovnost   pro   a pro všechna  . Pak existuje k   samoadjungované rozšíření  , které splňuje stejnou podmínku.

Je třeba poznamenat, že pro polootevřený operátor   musí být výraz   reálný, jinak relace uspořádání   a   nejsou definované; a operátory, pro které platí   pro všechna  , jsou symetrické.

Nechť   je uzavřený a hustě definovaný operátor. Pak lze z Friedrichsova rozšíření odvodit, že   je hustě definovaný a samoadjungovaný.

Spektrální věta pro neomezené operátoryEditovat

Spektrální rozkladEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Spektrální věta.

Nechť   je Hilbertův prostor a   je borelovská σ-algebra. Pro každý samoadjungovaný operátor   existuje jednoznačná spektrální míra   taková, že pro   a   platí

 

Tento výrok je spektrální věta pro neomezené samoadjungované operátory. Pokud požadujeme, aby operátory byl omezený a samoadjungovaný nebo dokonce i kompaktní a samoadjungované, pak se výsledek zjednoduší. To je podrobněji vysvětleno v článku Spektrální věta.

Operátor násobeníEditovat

Nechť   je Hilbertův prostor a nechť   je samoadjungovaný operátor. Pak existuje (v separabilním případě  -konečný) prostor s mírou  , měřitelná funkce   a unitární operátor  , tak že platí:

  1.   a
  2.   pro  .

V podstatě je tedy operátor násobení   jediným příkladem samoadjungovaného operátoru.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Selbstadjungierter Operator na německé Wikipedii.

  1. Werner 2007, s. 236–237.
  2. Rudin 1991, s. 347–348.
  3. Werner 2007, Kapitel VII.6.
  4. Werner 2007, s. 342–347.
  5. Hirzebruch a Scharlau 1971, s. 158–159.
  6. Meise a Vogt 1992, s. 204.

LiteraturaEditovat

  • CYCON, Hans; FROESE, Richard G.; KIRSCH, Werner; SIMON, Barry, 1987. Schrödinger Operators. [s.l.]: Springer. 
  • HIRZEBRUCH, Friedrich; SCHARLAU, Winfried, 1971. Einführung in die Funktionalanalysis. Mannheim [u. a.]: Bibliographisches Institut. Dostupné v archivu pořízeném dne 2017-08-28. ISBN 3-411-00296-4.  Archivováno 28. 8. 2017 na Wayback Machine.
  • MEISE, Reinhold; VOGT, Dietmar, 1992. Einführung in die Funktionalanalysis. Braunschweig [u. a.]: Vieweg Verlag. MR1195130 Dostupné online. ISBN 3-528-07262-8. [nedostupný zdroj]
  • REED, Michael; SIMON, Barry, 1978, 1980. Methods of Modern Mathematical Physics; 4 Bände. [s.l.]: Academic Press. 
  • RUDIN, Walter, 1991. Functional Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. Kap. 13. 
  • TESCHL, Gerald, 2009. Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence RI: American Mathematical Society. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4660-5. 
  • WERNER, Dirk, 2007. Funktionalanalysis. 6., upravené. vyd. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-72533-6. S. 342–347.