Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li ${\mathcal {H}}$ a ${\mathcal {K}}$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ sdruženým operátorem $T^{*}:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {H}}$, nazveme takový operátor, který splňuje: $\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle \quad \forall x\in {\mathcal {H}},y\in {\mathcal {K}}.$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení $A^{\dagger }$, ve fyzice někdy $A^{+}$.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• $T^{**}=T$
• $(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$
• $(ST)^{*}=T^{*}S^{*}$
• $(\lambda T)^{*}={\overline {\lambda }}T^{*}$
• Je-li $T$ invertibilní, tak: $(T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}$
• V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

$\|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|$

Tak platí:

$\|T\|=\|T^{*}\|$

A navíc:

$\|T^{*}T\|=\|T\|^{2}$

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:

$\operatorname {Ker} \ T^{*}=(\operatorname {Im} \ T)^{\bot }$

$(\operatorname {Ker} \ T^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {Im} \ T}}$

Prvá rovnost platí protože:

${\begin{aligned}T^{*}x=0&\iff \langle T^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff \langle x,Ty\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {Im} \ T\end{aligned}}$

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

Autoritní data	PSH: 7681

Portály: Matematika