Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

DefiniceEditovat

Jsou-li   a   Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru   pak sdruženým operátorem  , nazveme takový operátor, který splňuje:  

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení  , ve fyzice někdy  .

VlastnostiEditovat

Základní vlastnostiEditovat

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Je-li   invertibilní, tak:  
  • V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoruEditovat

Máme-li běžnou operátorovu normu

 

Tak platí:

 

A navíc:

 

Vztah jádra a obrazuEditovat

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj:

 
 

Prvá rovnost platí protože:

 

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.