Otevřít hlavní menu

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor splňující vztah: , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde a jsou Hilbertovy prostory.)

Obsah

VlastnostiEditovat

Alternativní definiceEditovat

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

  1.   je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy  
  2.   je surjektivní a je izometrií, tzn.:  
  3.   je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:  

Důkaz:

 
 
Protože platí  , je   též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
 
Označme   identické zobrazení a připomeňme, že:  .
 
Z čehož máme:  . ∎

Další vlastnostiEditovat

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

  • Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
  • Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
  • Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi  .
  • Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí  , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi  . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

PříkladyEditovat

Související článkyEditovat