Unitární operátor
Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor splňující vztah: , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde a jsou Hilbertovy prostory.)
Vlastnosti
editovatAlternativní definice
editovatNásledující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.
- je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy
- je surjektivní a je izometrií, tzn.:
- je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:
Důkaz:
-
- Protože platí , je též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
-
- Označme identické zobrazení a připomeňme, že: .
- Z čehož máme: . ∎
Další vlastnosti
editovatUnitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:
- Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
- Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
- Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi .
- Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
Příklady
editovat- Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
- Rotace v .
- V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
- Fourierova transformace v prostoru L2(ℝ).
- , kde je hermitovský operátor a značí exponenciálu operátoru.