Otevřít hlavní menu

Pozitivní operátor

rozcestník na projektech Wikimedia

Pozitivní operátor nebo pozitivně semidefinitní operátor je v matematice označení pro takový omezený operátor na Hilbertově prostoru (obecněji prostoru se skalárním součinem), který splňuje: .

Pozitivní vs. pozitivně definitní operátoryEditovat

Často je třeba odlišit speciální třídu pozitivních operátorů, tzv. pozitivně definitní operátory, což jsou pozitivní operátory, které navíc jsou prosté, neboli nesingulární. Pozitivní, resp. pozitivně definitní operátory jsou jakousi analogií nezáporných, resp. kladných reálných čísel v prostoru operátorů. To lze ilustrovat následujícími ekvivalencemi.

  • Ekvivalence pro pozitivní operátory. Tato tvrzení jsou ekvivalentní
  1.   je pozitivní operátor.
  2. Vlastní čísla   jsou nezáporná.
  3. Existuje omezený operátor   takový, že:  , kde   značí sdružený operátor.
  4. Existuje Hermitovský operátor   takový, že  .
  • Ekvivalence pro pozitivně definitní operátory. Tato tvrzení jsou též ekvivalentní
  1.   je pozitivně-definitní operátor.
  2. Vlastní čísla   jsou kladná.
  3. Existuje nesinguálrní omezený operátor   takový, že:  , kde   značí sdružený operátor.
  4. Existuje nesingulární Hermitovský operátor   takový, že  .
  5.  

Vlastnosti 3. a 4. u první ekvivalence jsou analogiemi těchto vlastností nezáporných čísel: 3.) Součin komplexně sdružených čísel je nezáporné číslo. 4.) Nezáporná čísla lze odmocňovat, tak že výsledek je reálný.

Další vlastnostiEditovat

  • Každý pozitivní operátor je Hermitovský, má tedy všechny vlastnosti Hermitovských operátorů.
  • V konečné dimenzi je pozitivní, resp. pozitivně-definitní operátor reprezentovatelný pozitivně-semidefinitní resp. pozitivně-definitní maticí.
  • Pozitivně-definitní operátor   definuje nový skalární součin   takto:  , kde   je původní skalární součin daného Hilbertova prostoru.