Komutativita

(přesměrováno z Komutativnost)

Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.

DefiniceEditovat

Budeme-li uvažovat grupoid  , potom binární operace   definovaná na   se nazývá komutativní, jestliže platí

 

pro všechna  . Zároveň jestliže pro   platí  , potom říkáme, že tyto dva prvky spolu komutují.

Je-li tato operace nad   zároveň asociativní, tj.   tvoří pologrupu, potom tuto operaci většinou nazýváme násobením, které značíme  . Ve speciálním případě, kdy   vzhledem k této operaci tvoří komutativní grupu, tuto operaci nazýváme sčítáním.

Příklady komutativityEditovat

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (značíme  ) a násobení (značíme  ) přirozených čísel.

  (v obou případech je výsledek 5)
  (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, průnik a sjednocení množin v potenční množině  , operace maximum a minimum na uspořádaných množinách.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání, dělení, umocňování, tj.  , nebo vektorové násobení, které je antikomutativní, tj. liší se pouze o znaménko.

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic nad prostorem komplexních čtvercových matic  . Jako jednoduchý protipříklad se nabízí

 .

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími operátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

S pojmem komutativity úzce souvisí tzv. komutátor, který definujeme nad libovolným okruhem   ve tvaru

 .

Z definice komutátoru je zřejmé, že dva prvky spolu komutují, jestliže je jejich komutátor nulový, tudíž lze hrubě říci, že komutátor v určitém smyslu "měří" míru nekomutativity.

Komutátor je zajímavý především z toho důvodu, že libovolná asociativní algebra vzhledem ke komutátoru tvoří Lieovu algebru, přičemž každou Lieovu algebru   lze vnořit do nějaké asociativní algebry, s čímž souvisí univerzální obalová algebra  .

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat