Totální diferenciál

diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných

Totální diferenciál je v matematice diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných. Vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných směrem od daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, tak funkce v daném bodě má totální diferenciál nebo že je v daném bodě diferencovatelná.

Pokud v bodě existuje totální diferenciál funkce n proměnných , pak je to lineární funkce

,

kde

je parciální derivace funkce podle v bodě ,
je gradient funkce v bodě ,
je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných
a symbol značí skalární součin.

Definice

editovat

Nechť   je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu  . Totálním diferenciálem funkce   v bodě   nazýváme lineární funkci  , s níž lze funkci   v okolí bodu   aproximovat jako

 

tak, že pro chybu aproximace   platí

 .

Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar

 

a říkáme, že funkce   má v bodě   totální diferenciál neboli že je v bodě   diferencovatelná.

Podmínky a důsledky diferencovatelnosti

editovat
  • Jestliže má funkce   na jistém okolí bodu   spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě   totální diferenciál.
  • Jestliže má funkce   v bodě   totální diferenciál, pak je v bodě   spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.

Geometrický význam

editovat
  • Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat funkci dvou proměnných   a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu  .
  • Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit  .
  • Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci  
  •  ,  ,  
  • Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení   na   dostaneme  
  • Nyní se podívejme na grafy funkcí   a  
 
Graf č.1
  • Z grafu je vidět že graf totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci   v bodě   (jejímž grafem je část kulové plochy).
  • Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.

Literatura

editovat
  • Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.