Ortonormální báze

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy označující takovou bázi onoho prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy prvky báze jsou jednotkové a jsou na sebe kolmé.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Konečně rozměrné prostoryEditovat

Nechť   je konečně rozměrný eukleidovský vektorový prostor se skalárním součinem  , který indukuje normu  . Pod ortonormální bází prostoru   pak rozumíme bázi   z   s těmito vlastnostmi:

  •   pro všechny  .
  •   pro všechny   s  .

Například následující množina je ortonormální bází euklidovského vektorového prostoru   (spolu s přirozeně definovaným skalárním součinem).

 

Každý z těchto vektorů má délku 1 a všechny jsou na sebe kolmé protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případEditovat

V obecném případě unitárního prostoru   nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem   ve   takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve  .

Úplný ortonormální systém   má proto tu vlastnost, že pro každý prvek   můžeme psát Fourierův rozvoj:

 .

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek   nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z  ), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z  , tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru  , leží ale hustě v tomto prostoru.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.