Věty o dimenzi

V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu.

První věta o dimenzi

Nechť $\scriptstyle V$ je vektorový prostor nad tělesem $\scriptstyle \mathbb {T}$. Dále nechť $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$ jsou podprostory prostoru $\scriptstyle V$ konečných dimenzí, tj. $\scriptstyle P\subset V$, $\scriptstyle \dim P<\infty$ a $\scriptstyle Q\subset V$, $\scriptstyle \dim Q<\infty$. Pak platí

$\dim(P+Q)+\dim(P\cap Q)=\dim P+\dim Q.$

Pro direktní součet podprostorů pak speciálně

$\dim(P\oplus Q)=\dim P+\dim Q.$

Důkaz

Pokud je $\scriptstyle P$ podprostor prostoru $\scriptstyle Q$, tj. $\scriptstyle P\subset Q$, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak $\scriptstyle Q=P+Q$, $\scriptstyle P=P\cap Q$ a $\scriptstyle \dim P=\dim(P\cap Q)$, $\scriptstyle \dim Q=\dim(P+Q)$. Totožně by se postupovalo, byl-li by $\scriptstyle Q$ podprostorem $\scriptstyle P$. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik $\scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}$ a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$ je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$ musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť $\scriptstyle \dim(P\cap Q)=n\ <\ +\infty$. V $\scriptstyle P\cap Q$ tedy existuje $\scriptstyle n$-členná báze $\scriptstyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}$. Nechť $\scriptstyle \dim P=p\ <\ +\infty$ a $\scriptstyle \dim Q=q\ <\ +\infty$. Je zřejmé, že $\scriptstyle n<p,n<q$. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože $\scriptstyle P\cap Q\subset P$ a $\scriptstyle P\cap Q\subset Q$, lze zřejmě doplnit bázi průniku $\scriptstyle P\cap Q$ jednak na bázi prostoru $\scriptstyle P$, jednak na bázi prostoru $\scriptstyle Q$. Označme bázi prostoru $\scriptstyle P$ a prostoru $\scriptstyle Q$ po řadě

$\{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P}\},\quad \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\},$

kde jsme vektory $\scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{P}$, resp. $\scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{Q}$, doplnily bázi průniku na bázi prostoru $\scriptstyle P$, resp. $\scriptstyle Q$.

Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů $\scriptstyle P+Q$ (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů

${\mathcal {E}}=\{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\}$

je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor $\scriptstyle P+Q$ a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor

${\vec {0}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}+\beta _{1}{\vec {e}}_{1}^{P}+\ldots +\beta _{p-n}{\vec {e}}_{p-n}^{P}+\gamma _{1}{\vec {e}}_{1}^{Q}+\ldots +\gamma _{q-n}{\vec {e}}_{q-n}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.$

Chceme ukázat, že všechny koeficienty $\alpha _{i},\beta _{i},\gamma _{i}$ už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.$

Na levé straně máme vektor z prostoru $\scriptstyle P$, na druhé straně rovnosti pak vektor z $\scriptstyle Q$. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku $\scriptstyle P\cap Q$. Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci

$\sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},$

pro jisté koeficienty $\scriptstyle {\tilde {\alpha }}_{i}$. Dostáváme tak dvě rovnosti

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=\sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q},$

které si můžeme zapsat způsobem

$\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}){\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}={\vec {0}},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}={\vec {0}}.$

První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru $\scriptstyle P$ rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru $\scriptstyle Q$. Máme tedy

$(\forall i\in \{1,\ldots ,n\})(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,p-n\})(\beta _{i}=0),\quad (\forall i\in \{1,\ldots ,n\})({\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,q-n\})(\gamma _{i}=0).$

Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina $\scriptstyle {\mathcal {E}}$ je bází prostoru $\scriptstyle P+Q$. Protože tato báze obsahuje $\scriptstyle n+(p-n)+(q-n)$ vektorů, máme $\scriptstyle \dim(P+Q)=p+q-n$. Celkově

$\dim(P+Q)+\dim(P\cap Q)=(p+q-n)+n=p+q=\dim P+\dim Q,$

což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy $\scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}$. (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$ je direktní.) Platí tedy $\scriptstyle \dim(P\cap Q)=0$. Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že $\scriptstyle \dim(P+Q)=p+q=\dim P+\dim Q.$

Příklad

Uvažujme vektorový prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{5}$ s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru

$P=\left\{{\begin{pmatrix}2\\0\\3\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\2\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}},\quad Q=\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\3\\0\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}.$

Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu $\scriptstyle P$ (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru $\scriptstyle P$ je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal $\scriptstyle Q$. Z první věty o dimenzi plyne, že

$\dim P+\dim Q=3+3=6=\dim(P+Q)+\dim(P\cap Q).$

Protože je ale součet $\scriptstyle P+Q$ stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru $\scriptstyle \mathbb {R} ^{5}$, nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik $\scriptstyle P\cap Q$ je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v $\scriptstyle P$ a současně v $\scriptstyle Q$. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.

Druhá věta o dimenzi

Nechť $\scriptstyle P$ a $\scriptstyle Q$ jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem $\scriptstyle \mathbb {T}$ a nechť $\scriptstyle A$ je lineární zobrazení prostoru $\scriptstyle P$ do prostoru $\scriptstyle Q$, tj. $\scriptstyle A\in {\mathcal {L}}(P,Q)$. Dále nechť $\scriptstyle P$ má konečnou dimenzi, tj. $\scriptstyle \dim P<\infty$. Pak platí vztah

$\dim \ker A+\dim {\text{ran}}\,A=\dim P,$

kde $\scriptstyle \ker A$ značí jádro zobrazení A a $\scriptstyle {\text{ran}}\,A$ jeho obor hodnot.

Důkaz

Označme si $\scriptstyle \dim P=n$. Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině $\scriptstyle A(P)$ (tj. vzoru prostoru $\scriptstyle P$ při zobrazení $\scriptstyle A$) bylo více než $\scriptstyle n$ lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru $\scriptstyle P$, což je spor s tím, že dimenze $\scriptstyle P$ je $\scriptstyle n$. Dimenze obrazu zobrazení $\scriptstyle A$ je tedy konečná a není větší než $\scriptstyle n$. Označme si tuto dimenzi jako $\scriptstyle k$. V $\scriptstyle A(P)$ tedy existuje $\scriptstyle k$-členná báze, označme si bazické vektory jako $\scriptstyle {\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{k}$. Vektory $\scriptstyle {\vec {x}}_{i}$ z prostoru $\scriptstyle P$ takové, že $\scriptstyle (\forall i\in \{1,\ldots ,k)(A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i})$ (tj. vzory $\scriptstyle {\vec {y}}_{i}$ při zobrazení $\scriptstyle A$) tvoří $\scriptstyle k$-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v $\scriptstyle P$. Jejich lineární obal tedy tvoří $\scriptstyle k$-rozměrný podprostor prostoru $\scriptstyle P$, označme si ho jako $\scriptstyle Q$. Platí tedy $\scriptstyle Q\subset \subset P$, kde

$Q=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}_{\text{lin}}.$

Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. $\scriptstyle \ker A\subset \subset P$. Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru $\scriptstyle P$ a že tento součet je navíc direktní. Neboli

$\ker A\oplus Q=P.$

Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že $\scriptstyle \ker A+Q\subset P$. To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor $\scriptstyle {\vec {x}}\in P$ a najděme jeho rozklad do podprostorů $\scriptstyle \ker A$ a $\scriptstyle Q$. Hledáme tedy vektory $\scriptstyle {\vec {q}}\in Q$ a $\scriptstyle {\vec {r}}\in \ker A$ takové, že $\scriptstyle {\vec {x}}={\vec {q}}+{\vec {r}}$. Protože $\scriptstyle {\vec {r}}$ má ležet v jádru $\scriptstyle A$, platí $\scriptstyle A{\vec {x}}\ =\ A{\vec {q}}\ \in A(P)$. Existují tedy koeficienty z tělesa $\scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ takové, že

$A{\vec {x}}=A{\vec {q}}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}.$

Navíc $\scriptstyle A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i}$, takže

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}A{\vec {x}}_{i}=A\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}\right).$

Za vektor $\scriptstyle {\vec {q}}$ tedy můžeme zvolit

${\vec {q}}\equiv \sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}.$

Vektor $\scriptstyle {\vec {r}}$ pak vznikne jako rozdíl

${\vec {r}}\equiv {\vec {x}}-{\vec {q}}.$

Pro libovolný vektor $\scriptstyle {\vec {x}}\in P$ jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů $\scriptstyle \ker A$ a $\scriptstyle Q$.

Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů $\scriptstyle \ker A$ a $\scriptstyle Q$ leží jen nulový vektor, tj. $\scriptstyle \ker A\cap Q=\{{\vec {0}}\}$. Vezměme tedy nějaký vektor $\scriptstyle {\vec {x}}$ z průniku $\scriptstyle \ker A\cap Q$. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože $\scriptstyle {\vec {x}}\in \ker A\cap Q$, je určitě $\scriptstyle {\vec {x}}\in Q$. Existuje tedy $\scriptstyle k$-tice koeficientů $\scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ z tělesa taková, že

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {x}}_{i}.$

Protože je $\scriptstyle {\vec {x}}$ současně z jádra $\scriptstyle \ker A$, tak

$A{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}A{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {y}}_{i}=0.$

Neboť jsou vektory $\scriptstyle {\vec {y}}_{i}$ lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty $\scriptstyle \beta _{i}$ nulové a platí tedy $\scriptstyle {\vec {x}}\ =\ {\vec {0}}$.

Zatím jsme tedy dokázali rovnost

$\ker A\oplus Q=P.$

Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá

$\dim \ker A+\dim Q=\dim(\ker A\oplus Q)=\dim P.$

Podprostor $\scriptstyle Q$ má ale stejnou dimenzi jako množina $\scriptstyle A(P)$. Dostali jsme tedy tvrzení věty.

Příklad

Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor $\scriptstyle V$ a k němu prostor duální, nechť $\scriptstyle \dim V=n$. Mějme $\scriptstyle f$, funkcionál z duálního prostoru, a nechť $\scriptstyle {\vec {x}}$ je vektor takový, že $\scriptstyle f({\vec {x}})=1$. Protože $\scriptstyle f$ je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa $\scriptstyle \mathbb {R}$, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, $\scriptstyle \dim \mathbb {R} =1$. Neboť je $\scriptstyle f$ zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu $\scriptstyle f$ je

$\dim \ker f=\dim V-\dim {\text{ran}}\,f=n-1.$

Jádro zobrazení $\scriptstyle f$ tedy tvoří $\scriptstyle (n-1)$-rozměrný podprostor prostoru $\scriptstyle V$. Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které $\scriptstyle f$ nedá nulu, jsou násobky vektoru $\scriptstyle {\vec {x}}$, neboli jeho lineární obal $\scriptstyle \{{\vec {x}}\}_{\text{lin}}$.

Literatura

• PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT