Otevřít hlavní menu

Spojité zobrazení

(přesměrováno z Spojitost)

Neformální úvodEditovat

Spojitost je přirozená a očekávatelná vlastnost zobrazení. Pro reálné funkce spojitost znamená, že graf funkce neobsahuje ostré skoky a vypadá jako souvislá křivka. Pojem lze definovat na metrických prostorech, tedy na množinách, na kterých je možné měřit "vzdálenosti". Jedná se tedy například o množiny bodů v rovině, anebo také nějakou množinu funkcí. V metrických prostorech spojitost znamená, že pokud se nějaký bod blíží jinému bodu, blíží se k sobě i obrazy.

Metrickou definici lze zobecnit na topologické prostory, tj. na ještě širší skupinu množin, než jsou metrické prostory. V topologii je spojitost definována tak, že množiny zachovávají některé své topologické vlastnosti. Spojité zobrazení například převádí souvislé množiny na souvislé, kompaktní na kompaktní a vzor otevřené množiny je otevřená množina. Tyto různé definice spojitosti jsou vzájemně kompatibilní.

Formální definiceEditovat

V topologických prostorechEditovat

 
Vzor otevřeného okolí V bodu f(x) obsahuje otevřené okolí U bodu x

Zobrazení   mezi topologickými prostory   a   nazveme spojité, pokud vzor každé otevřené množiny v   je otevřená množina v  .

Ekvivalentní definice říká, že zobrazení   je spojité v bodě  , jestliže pro každé okolí   bodu   existuje okolí   bodu   takové, že  . Zobrazení   je spojité, pokud je   spojité v každém  .

V metrických prostorechEditovat

Zobrazení   z metrického prostoru prostoru   do   je spojité, právě když pro každé   a kladné reálné číslo   existuje kladné reálné   takové, že pro každý bod   splňující   platí  . Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko.

Ekvivalentně, zobrazení   je spojité v bodě  , jestliže platí implikace

 .

Spojitá zobrazení na množinách číselEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku spojitá funkce.

Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká funkce. Funkce f je spojitá v bodě x, pokud pro každé   existuje   takové, že   implikuje  .

Množina reálných a komplexních čísel je však také topologický prostor, generován otevřenými intervaly. Podobně metrický prostor a normovaný lineární prostor jsou topologické prostory a různé definice spojitosti zobrazení mezi těmito prostory jsou ekvivalentní.

Vlastnosti spojitých zobrazeníEditovat

  • Složení spojitých zobrazení je opět spojité zobrazení.
  • Spojité zobrazení zachovává kompaktní množiny. Proto i složení   spojitého zobrazení   s kompaktním zobrazením   je zobrazení kompaktní.

Příklady spojitých a nespojitých zobrazeníEditovat

  • Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel jsou spojitá zobrazení (z "dvojic" čísel do čísel).
  • Mapa zobrazující část krajiny se dá chápat jako spojité zobrazení. Tento koncept je formalizován v definici variety. Varieta je zadána pomocí atlasu, který pozůstává ze spojitých map.
  • Projekce topologického vektorového prostoru na nějaký podprostor je spojité zobrazení.
  • Lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru je spojitá.
  • Polynomiální funkce je spojité zobrazení. Podobně zobrazení z   do  , kterého každá složka je polynomiální funkce.
  • Křivka je spojité zobrazení z úsečky do nějakého topologického prostoru.
  • Skalární součin je spojité zobrazení z dvojic vektorů do čísel.
  • Funkce  , která racionálním číslům přiřadí nulu a iracionálním jednotku, je nespojitá.
  • Evoluční operátor v kvantové fyzice (popisuje vývoj fyzikálního systému v čase) je spojité zobrazení.
  • Násobení v Lieově grupě je spojité.
  • Každé zobrazení z diskrétního prostoru do libovolného metrického prostoru je spojité [pozn 1].
  • Mějme X prostor spojitých reálných funkcí na intervalu   spolu se supremovou normou (||f||:=sup |f(x)|) a nechť K(x,t) je spojitá funkce. Definujme  . Pak   je spojité zobrazení v  .
  • Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je funkce  , která ordinálnímu číslu   přiřadí  -tou nejmenší nekonečnou mohutnost. Jedná se o zobrazení na vlastní třídě, ovšem pro každé ordinální číslo   (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je restrikce této funkce na   spojitým [pozn 2] zobrazením z   do obrazu  .
  • Lineární zobrazení nekonečně rozměrného vektorového prostoru může, ale také nemusí být spojité. Nechť   je prostor hladkých funkcí spolu s maximovou normou ||f||=sup |f(x)|. Pak derivace   je lineární nespojité zobrazení. [pozn 3].

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Stačí si uvědomit, že pro diskrétní prostor platí  
  2. Pokud konverguje   k nějakému  , pak posloupnost   konverguje k  . Příkladem je posloupnost   konvergující k  , zvolíme-li   a   pro každé přirozené číslo n.
  3. Vezměme  , pak  , ale velikosti obrazů jsou  

Související článkyEditovat