Řád prvku

Řád prvku v grupě je takové nejmenší přirozené číslo , že (přičemž je neutrální prvek grupy ), značíme jej nebo .

DefiniceEditovat

Buď dána grupa  , a prvek  . Je-li cyklická grupa generovaná prvkem   konečná, pak řád prvku   v grupě   klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak   (u některých autorů  ).

TvrzeníEditovat

  • Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
  • Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
  • Buď   homomorfismus grup a   prvek konečného řádu, pak  . Je-li navíc   injektivní, pak  .
  • Z předchozího tvrzení plyne, že   (kde   je inverzní prvek k  ), neboť zobrazení   je automorfismem grupy.
  • Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem   (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

LiteraturaEditovat

  • RNDR. LADISLAV BERAN, CSC. Grupy a svazy. [s.l.]: SNTL, 1974. Kapitola 2.4. Podgrupa generovaná komplexem, s. 67-68. (česky) 
  • PROF. RNDR. JIŘÍ ROSICKÝ, DRSC. ALGEBRA. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. (česky) 

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat