Otevřít hlavní menu

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele řádu grupy existenci podgrup složených z prvků řádu a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupaEditovat

Sylowovou  -podgrupou grupy  , kde   je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou   , že každý prvek   má řád mocniny   a   je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových  -podgrup grupy   se značí  .

Znění větEditovat

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova větaEditovat

Nechť   je konečná grupa a   prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy  -podgrupy   jsou konjugovány (pro    existuje   , že  ) a jejich počet je   pro nějaké    (tj.       ).

DůsledkyEditovat

  • Všechny Sylowovy  -podgrupy   jsou izomorfní.
  • Konečná grupa   obsahuje prvek řádu   pro každé prvočíslo  , které dělí řád  .
  • Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny  .

Druhá Sylowova větaEditovat

Nechť   je konečná grupa řádu  ,kde   je prvočíslo, které nedělí   a  . Pak všechny Sylowovy  -podgrupy   mají řád  .

Třetí Sylowova větaEditovat

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že   dělí řád  . Nechť dále   je podgrupa   (  ) řádu  . Pak existjuje grupa   řádu   splňující   (tj.   je normální v  ).

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat