Fundamentální grupa

(přesměrováno z Homotopická grupa)
Dvě křivky na toru, z nichž ani jednu nelze stáhnout do bodu. Fundamentální grupa popisuje množinu všech různých nestažitelných křivek.

Fundamentální grupa je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Popisuje křivky, které se v daném prostoru nedají stáhnout do bodu.

DefiniceEditovat

Nechť   je topologický prostor a   je prvkem  . Zaveďme prostor   oblouků začínajících v   předpisem

 .

Pro každé  ,   z   definujme element   z   formulí   pro   a   pro   a element   z   předpisem   pro  . Nakonec definujme element   pro každé  . Snadno lze ověřit, že   je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence  . Položíme  , právě tehdy když oblouk   je homotopický oblouku  . Definujme  . Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na  . Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru  , respektive fundamentální grupa X .

Pokud   je obloukově souvislý, potom   pro každé     z  , tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu  . Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru,  .

PříkladyEditovat

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální,  , neboť   je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel,  . Podobně fundamentální grupa kružnice  .

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je  , kde   je torus a   jeho nějaký bod. Generátory   a   reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru  .

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní   Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

TvrzeníEditovat

  • Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
  • Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
  • Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
  • Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

AplikaceEditovat

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní  . Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení   z dostatečně velké kružnice   do jednotkové kružnice   by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě  . V prostoru   je   stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v   (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Motivace a zobecněníEditovat

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech[1]

LiteraturaEditovat

ReferenceEditovat

  1. Herbert Schroeder, On the topology of the group of invertible elements, řádek 16 zdola na straně 3, online