Platónské těleso

Platónské těleso je v geometrii pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran[1] a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Zde je ukázka všech pěti Platónských těles v trojrozměrném prostoru:

Tabulka vlastností platónských tělesEditovat

Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:

název obrázek počet stěn počet hran počet vrcholů typ stěny počet hran u vrcholu povrch (hrana délky a) objem (hrana délky a)
pravidelný čtyřstěn (tetraedr)  

(animace)

4 6 4 trojúhelník 3    
krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr)  

(animace)

6 12 8 čtverec 3    
pravidelný osmistěn (oktaedr)  
(animace)
8 12 6 trojúhelník 4    
pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)  

(animace)

12 30 20 pětiúhelník 3    
pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)  

(animace)

20 30 12 trojúhelník 5    

DualismusEditovat

Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).

HistorieEditovat

Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427–347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Eukleidés sepsal kompletní matematický popis Platonských těles ve svých Základech, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Tvrzení 13-17 v knize XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kulové plochy s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohostěny neexistují.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

Přírodní vědyEditovat

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula hexafluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.

Vyšší dimenzeEditovat

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat