Otevřít hlavní menu

Pětiúhelník (cizím slovem pentagon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník
Pentagon.svg
Obsah
Poloměr kružnice opsané
Poloměr kružnice vepsané
Úhel u vrcholu 108°
Délka nejdelší úhlopříčky (zlatý řez)

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost a při vrcholu .

VlastnostiEditovat

 
Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru  .

HistorieEditovat

 
Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

KonstrukceEditovat

 
Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnicEditovat

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu   [ ;  ], obdržíme při poloměru kružnice opsané   a natočení vrcholu nejbližšího ose   v jejím kladném směru o úhel   oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

x y
     
     
     
     
     

Pro body vnitřního pětiúhelníku pak platí následující souřadnice:

x y
     
     
     
     
     

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat