Kružnice opsaná

Kružnice opsaná je kružnice, na níž leží všechny vrcholy rovinného útvaru.

Obsah

Kružnice opsaná trojúhelníku

Střed kružnice opsané trojúhelníku je průsečík os stran trojúhelníku, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici.

Vlastnosti kružnice opsané trojúhelníku

• Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

$r={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.$

• Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníka jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníka (tzv. Nagelova věta).
• Kružnice devíti bodů je stejnolehlým obrazem kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžiště trojúhelníka a koeficientem κ = - 0,5.
• Středem úsečky spojující střed kružnice opsané a Lemoinův bod je zároveň středem první Lemoinovy kružnice.

Kružnice opsaná trojúhelníku a její konstrukce

Simsonova přímka

Kružnice opsaná a Simsonova přímka

Pokud z libovolného bodu X kružnice opsané spustíme kolmice k jednotlivým stranám, paty kolmic leží na přímce. Nazývá se Simsonova přímka. Pokud tento bod X spojíme s ortocentrem (průsečík výšek trojúhelníka), pak Simsonova přímka prochází středem této úsečky. Simsonova přímka se jmenuje podle anglického matematika Roberta Simsona (1687-1768). Někdy se označuje také jako Wallaceova přímka.

Popis obrázku

Kružnice opsaná a Simsonova přímka:

• ABC
• a, b, c – strany
• o_a, o_b, o_c - osy stran,
• O – průsečík os stran (střed kružnice opsané),
• X – libovolný bod, ležící na kružnici opsané
• k_a, k_b, k_c – kolmice na strany, spuštěné z bodu X
• S_a, S_b, S_c – paty kolmic k_a, k_b, k_c
• s – Simsonova přímka
• v_a, v_b, v_c – výšky,
• V – průsečík výšek (ortocentrum)
• S – střed úsečky VX

Thaletova kružnice

Související informace naleznete také v článku Thaletova věta.

Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku se nazývá Thaletova kružnice. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony trojúhelníku. Máme-li např. trojúhelník ABC, říkáme, že Thaletova kružnice je sestrojena nad průměrem AB.

Pro každou úsečku AB platí, že Thaletova kružnice sestrojená nad průměrem AB (s vyjmutím bodů A a B) je množinou vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků ABC s přeponou AB.

Výpočet v kartézských souřadnicích

Kartézské souřadnice středu opsané kružnice lze vypočíst podle vzorce

${\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\S_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}$

přičemž pomocná hodnota D se vypočte

$D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,$

Indexy x a y označují x a y souřadnice vrcholů trojúhelníka (A,B,C) a středu kružnice S.

Kružnice opsaná čtyřúhelníku

Střed kružnice opsané čtverci nebo obdélníku je průsečík úhlopříček daného rovnoběžníku.

Související články

• Kružnice vepsaná
• Kružnice připsaná
• Lemoinova kružnice
• Sinová věta

Literatura

• ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1988. 

Portály: Matematika