Taylorova řada

mocninná řada aproximující danou funkci

Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Taylorův rozvoj stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13 funkce sin(x). Sin(x) je vyznačen černě.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

DefiniceEditovat

V případě existence všech konečných derivací funkce   v bodě   lze Taylorovu řadu zapsat jako

 


Má-li funkce   v bodě   konečné derivace až do řádu  , pak Taylorův polynom řádu   funkce   v bodě   je polynom:

 ,

kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn.  .

Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého   všechny vyšší derivace nulové.

Taylorova větaEditovat

Rozvoj funkce  , která má v okolí bodu   konečné derivace do  -tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu   vyjádřit jako

 .

Nechť je funkce   spojitá na okolí bodu   a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje   z tohoto okolí tak, že

 .

Speciálně lze zbytek   vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):

  •   (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy  )
  •   (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy  )


Taylorova řada funkce   konverguje v bodě   k funkční hodnotě   právě když

 

Taylorova řada funkce více proměnnýchEditovat

Pro funkci   lze v okolí bodu   vyjádřit Taylorovu větu pomocí totálních diferenciálů jako

 ,

kde funkci  , která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

 

pro  .

Maclaurinova řadaEditovat

Pro   přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

 

Maclaurinovy řady běžných funkcíEditovat

  • Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
  • aproximovanou hodnotu funkce   v blízkosti bodu   určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1

Taylorův rozvoj:  

aproximovaná hodnota funkce:  


  •  
  •  , kde  
  •  


  •  


  •  

Goniometrické funkce:

  •  
  •  
  •  
  •  


Cyklometrické funkce:

  •  


  •  


  •  


Hyperbolické funkce:

  •  


  •  
  •  

Hyperbolometrické funkce:

  •  
  •  

Výpočet Taylorova polynomuEditovat

Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.

První příkladEditovat

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce  . Nejprve si funkci přepíšeme jako  

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je   a funkce kosinus   (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

 

 .

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u   jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Druhý příkladEditovat

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce   v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy:   a  . K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí   Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

 

Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin

 

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

 

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Taylor series na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
  • Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

Externí odkazyEditovat