Hyperbolometrická funkce

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)

Funkce $y=\arg \sinh x$

Definiční obor

$x\in \mathbb {R}$

Obor hodnot

$y\in \mathbb {R}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg \sinh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)

Funkce $y=\arg \cosh x$

Definiční obor

$1\leq x<\infty$

Obor hodnot

$0\leq y<\infty$

Parita

Ani lichá ani sudá

Identita

$\arg \cosh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)

Funkce $y=\arg \tanh x$

Definiční obor

$-1<x<1$ resp. $|x|<1$

Obor hodnot

$y\in \mathbb {R}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg \tanh x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)

Funkce $y=\arg \coth x$

Definiční obor

$|x|>1$

Obor hodnot

$y=\mathbb {R} -\{0\}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg \coth x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

Identity

$\arg \sinh x$	$=\arg \cosh {\sqrt {x^{2}+1}}\ \ \ \ \ \ \ (x\geq 0)$
	$=-\arg \cosh {\sqrt {x^{2}+1}}\ \ \ \ \ (x<0)$
	$=\arg \tanh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

$\arg \cosh x=\arg \sinh {\sqrt {x^{2}-1}}=\arg \tanh {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\ \ \ \ \ (x\geq 0)$

$\arg \tanh x=\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (x\geq 0)$

$\arg \tanh x$	$=\arg \sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)$
	$=\arg \cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (0\leq x<1)$
	$=-\arg \cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (-1<x\leq 0)$
	$=\arg \coth {\frac {1}{x}}\ \ \ \ \ (-1<x<1,x\not =0)$

$\arg \coth x$	$=\arg \sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)$
	$=-\arg \sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x<-1)$
	$=\arg \cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)$
	$=\arg \tanh {\frac {1}{x}}\ \ \ \ \ (|x|>1)$

$\arg \sinh x\pm \arg \sinh y=\arg \sinh(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}})$

$\arg \cosh x\pm \arg \cosh y=\arg \cosh(xy\pm {\sqrt {(1+x^{2})(y^{2}-1)}})\ \ \ \ \ (x\geq 1,y\geq 1)$

$\arg \tanh x\pm \arg \tanh y=\arg \tanh {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)$

Derivace

$(\arg \sinh x)'={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$(\arg \cosh x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)$

$(\arg \tanh x)'={\frac {1}{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|<1)$

$(\arg \coth x)'={\frac {1}{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|>1)$

Integrál

$\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\rm {d}}x=\arg \sinh x+C$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}{\rm {d}}x=\arg \cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)$

$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}{\rm {d}}x$	$=\arg \tanh x+C\ \ \ \ \ (|x|<1)$
	$=\arg \coth x+C\ \ \ \ \ (|x|>1)$

Portály: Matematika