Metoda neurčitých koeficientů

Metoda neurčitých koeficientů je v matematice přístup k hledání partikulárního řešení určitých nehomogenních obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic. Metoda je blízce příbuzná metodě anihilátorů, ale místo použití určitého druhu diferenciálního operátoru (anihilátoru) pro nalezení nejlepšího možného tvaru partikulárního řešení se provede „odhad“, vhodného tvaru řešení, který se pak upřesní a ověří derivováním výsledné rovnice. Pro složité rovnice je rychlejší použít metodu anihilátorů nebo variace parametrů.

Metoda neurčitých koeficientů není tak obecná jako metoda variace konstant, protože je použitelná pouze pro diferenciální rovnice, které mají určité tvary[1].

Popis metody

editovat

Uvažujeme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici tvaru

 

Metoda spočívá v hledání obecného homogenního řešení   komplementární lineární homogenní diferenciální rovnice

 

a partikulárního integrálu   lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice s pravou stranou  . Obecné řešení   lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice pak je

 [2]

Pokud   vyjádříme jako součet dvou funkcí  , pak říkáme, že   je řešení vycházející z   a   řešení vycházející z  . Pak použitím principu superpozice můžeme říct, že partikulární integrál   je

 [2]

Typické tvary partikulárního integrálu

editovat

Pro nalezení partikulárního integrálu potřebujeme „uhodnout“ jeho tvar, přičemž některé koeficienty ponecháme proměnné, a jejich hodnoty zjistíme vyřešením rovnice. Tvarem je první derivace komplementární funkce. Následuje tabulka některých typických funkcí a odhadů tvaru jejich řešení.

Funkce x Tvar y
   
   
   
   
   
   

kde  

Pokud se v homogenním řešení objeví nějaký člen z výše uvedeného partikulárního integrálu pro y, musíme jej vynásobit dostatečnou mocninou x, aby řešení nebyla závislá. Jestliže funkci proměnné x lze vyjádřit jako součet členů z výše uvedené tabulky, jako odhad partikulárního integrálu použijeme součet odpovídajících termů proměnné y[1].

Příklady

editovat
Příklad 1

Hledáme partikulární integrál rovnice

 

Pravá strana t cos t má tvar

 

pro n=1, k1=1, α=0 a β=1.

Protože α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice

 

budeme zkoušet partikulární integrál tvaru

 

Substitucí yp do diferenciální rovnice, dostaneme identitu

 

Porovnáním obou stran dostaneme soustavu

 

která má řešení   = 0,   = 1/4,   = 1/4,   = 0. Výsledný partikulární integrál je tedy

 
Příklad 2

Hledáme řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

 

Nehomogenní část má tvar uvedený v prvním případě v předchozí kapitole pro a=1. Protože tato nehomogenní část ( ) je lineárně závislá s obecným řešení homogenní části ( ), musíme uvedený odhad znásobit dostatečně velkou mocninou x, aby byl lineárně nezávislý.

Výsledný odhad je:

 

substitucí této funkce a její derivace do diferenciální rovnice můžeme zjistit řešení A:

 
 
 

Takže obecné řešení původní diferenciální rovnice je:

 
Příklad 3

Hledáme obecné řešení rovnice:

 

  je polynom 2. stupně, takže hledáme řešení jako obecný polynom druhého stupně:

 , tedy
 

Dosazením tohoto partikulárního integrálu s konstantami A, B a C do původní rovnice dostaneme

 ,

odtud

 
 
 

tj.

 
 
 

Po dosazení vypočítaných konstant máme

 

Obecné řešení je

 

kde   je homogenní řešení  . Obecné řešení tedy je:

 

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Method of undetermined coefficients na anglické Wikipedii.

  1. a b Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogenous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.
  2. a b Dennis G. Zill (2001). A first course in differential equations - The classic 5th edition. Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 1. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1983. 
  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  • Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3