Monotónní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Příklad monotonní funkce

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x>a\Rightarrow f(x)>f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)<f(a)$.

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x>a\Rightarrow f(x)<f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)>f(a)$,

nerostoucí pro

$x>a\Rightarrow f(x)\leq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\geq f(a)$,

a neklesající pro

$x>a\Rightarrow f(x)\geq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\leq f(a)$.

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu $I$ rostoucí, jestliže pro všechna $x<y$ z tohoto intervalu platí:

$f(x)<f(y)$.

Obdobně je funkce na $I$ klesající, pokud

$f(x)>f(y)$,

nerostoucí pokud

$f(x)\geq f(y)$,

a neklesající pokud

$f(x)\leq f(y)$.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu $\langle x_{3},x_{5}\rangle$, klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu $\langle x_{2},x_{3}\rangle$.

Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

• konstantní funkce, tzn. pro každé $x\neq y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)=f(y)$
• ostře rostoucí funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)<f(y)$
• ostře klesající funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)>f(y)$
• neklesající funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)\leq f(y)$
• nerostoucí funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)\geq f(y)$

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce $f(x)$ v bodě $x$ lze využít první derivace $f^{\prime }(x)$ funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

• Jestliže $f^{\prime }(x)>0$, pak $f(x)$ je v bodě $x$ rostoucí.
• Jestliže $f^{\prime }(x)<0$, pak $f(x)$ je v bodě $x$ klesající.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $x$ neklesající, pak $f^{\prime }(x)\geq 0$.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $x$ nerostoucí, pak $f^{\prime }(x)\leq 0$.

Terminologie

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

• ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
• rostoucí pokud je neklesající dle…,
• ryze klesající pokud je klesající dle…,
• klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související články

• Prostá funkce
• Průběh funkce

Portály: Matematika