Monotónní funkce
Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.
Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.
Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna v tomto okolí platí:
- .
Obdobně je funkce klesající, pokud
- ,
nerostoucí pro
- ,
a neklesající pro
- .
Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro všechna z tohoto intervalu platí:
- .
Obdobně je funkce na klesající, pokud
- ,
nerostoucí pokud
- ,
a neklesající pokud
- .
Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu .
Monotónní funkceEditovat
Mezi monotónní funkce řadíme funkce:
- konstantní funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
- ostře rostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
- ostře klesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
- neklesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
- nerostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.
K vyšetření monotonie funkce v bodě lze využít první derivace funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):
- Jestliže , pak je v bodě rostoucí.
- Jestliže , pak je v bodě klesající.
- Jestliže je v bodě neklesající, pak .
- Jestliže je v bodě nerostoucí, pak .
TerminologieEditovat
Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:
- ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
- rostoucí pokud je neklesající dle…,
- ryze klesající pokud je klesající dle…,
- klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.
Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.
Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.