Monotónní funkce

Příklad monotonní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x>a\Rightarrow f(x)>f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)<f(a)$.

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x>a\Rightarrow f(x)<f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)>f(a)$,

nerostoucí pro

$x>a\Rightarrow f(x)\leq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\geq f(a)$,

a neklesající pro

$x>a\Rightarrow f(x)\geq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\leq f(a)$.

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu $I$ rostoucí, jestliže pro všechna $x<y$ z tohoto intervalu platí:

$f(x)<f(y)$.

Obdobně je funkce na $I$ klesající, pokud

$f(x)>f(y)$,

nerostoucí pokud

$f(x)\geq f(y)$,

a neklesající pokud

$f(x)\leq f(y)$.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu $\langle x_{3},x_{5}\rangle$, klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu $\langle x_{2},x_{3}\rangle$.

Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

• konstantní funkce, tzn. pro každé $x\neq y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)=f(y)$
• rostoucí funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)<f(y)$
• klesající funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)>f(y)$
• neklesající funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)\leq f(y)$
• nerostoucí funkce, tzn. pro každé $x<y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x)\geq f(y)$

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce $f(x)$ v bodě $x$ lze využít první derivace $f^{\prime }(x)$ funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

• Jestliže $f^{\prime }(x)>0$, pak $f(x)$ je v bodě $x$ rostoucí.
• Jestliže $f^{\prime }(x)<0$, pak $f(x)$ je v bodě $x$ klesající.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $x$ neklesající, pak $f^{\prime }(x)\geq 0$.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $x$ nerostoucí, pak $f^{\prime }(x)\leq 0$.

Terminologie

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

• ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
• rostoucí pokud je neklesající dle…,
• ryze klesající pokud je klesající dle…,
• klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související články

• Prostá funkce
• Průběh funkce

Portály: Matematika