Otevřít hlavní menu

Lineární uspořádání

uspořádání, ve kterém je možné každé dva prvky porovnat
(přesměrováno z Úplné uspořádání)

Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné.

DefiniceEditovat

Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.

Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):

Předpokládejme, že máme relaci   na množině  , a   jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny  , musí být splněny tyto podmínky:

  1. tranzitivita:  
  2. (slabá) antisymetrie:  
  3. trichotomie:  

PříkladyEditovat

Relace   je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.


Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda ani „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).


Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.

Abecední řazení řetězců je lineární uspořádání.

Správně seskládané matrjošky (do žádné bábušky se nesmí vejít více malinkých vedle sebe). jsou lineárně uspořádané pomocí relace "být uvnitř".

Související článkyEditovat