Kartézská mocnina

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

DefiniceEditovat

Základní definice pro přirozené exponentyEditovat

Pokud je   množina a   přirozené číslo, pak kartézskou mocninou   rozumíme  - násobný kartézský součin množiny   se sebou samou:
 

Speciálně pro   dostáváme   jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z  , pro   dostáváme   jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z  .

Obecná definiceEditovat

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou   množin   a   rozumíme množinu všech zobrazení množiny   do množiny  .

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z   nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny (   nebo   ) do  . (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné  .

Pokud vezmeme za   množinu všech přirozených čísel  , dostáváme kartézskou mocninu   – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny  .

PříkladEditovat

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

  • podle první definice je

 

  • podle druhé definice je

 

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

UžitíEditovat

  • Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny   a   ( jako   je zde označována množina všech reálných čísel).
  • Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině  ) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině  .
  • Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny   .
  • Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
  • Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina  , na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení   do   (obecněji   do  , kde   je arita konkrétní operace).

Související článkyEditovat