Kartézská mocnina

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Definice

Základní definice pro přirozené exponenty

Pokud je $X\,\!$ množina a $n\,\!$ přirozené číslo, pak kartézskou mocninou $X^{n}\,\!$ rozumíme $n\,\!$ - násobný kartézský součin množiny $X\,\!$ se sebou samou:
$X^{n}=\prod _{1\leq i\leq n}X\,\!$

Speciálně pro $n=2\,\!$ dostáváme $X^{2}\,\!$ jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z $X\,\!$ , pro $n=3\,\!$ dostáváme $X^{3}\,\!$ jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z $X\,\!$ .

Obecná definice

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou $X^{Y}\,\!$ množin $X\,\!$ a $Y\,\!$ rozumíme množinu všech zobrazení množiny $Y\,\!$ do množiny $X\,\!$ .

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z $X\,\!$ nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( $Y=\{0,1\}\,\!$ nebo $Y=\{1,2\}\,\!$ ) do $X\,\!$ . (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné $Y\,\!$ .

Pokud vezmeme za $Y\,\!$ množinu všech přirozených čísel $\omega \,\!$ , dostáváme kartézskou mocninu $X^{\omega }\,\!$ – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny $X\,\!$ .

Příklad

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

podle první definice je

$3^{2}=\{0,1,2\}\times \{0,1,2\}=\{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2]\}\,\!$

podle druhé definice je

$3^{2}=\{0,1,2\}^{\{0,1\}}=\{\{[0,0],[1,0]\},\{[0,0],[1,1]\},\{[0,0],[1,2]\},\{[0,1],[1,0]\},\ldots ,\{[0,2],[1,2]\}\}\,\!$

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

Užití

Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny $\mathbb {R} ^{2}\,\!$ a $\mathbb {R} ^{3}\,\!$ ( jako $\mathbb {R} \,\!$ je zde označována množina všech reálných čísel).
Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině $X\,\!$ ) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině $X^{2}\,\!$ .
Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny $\mathbb {R} ^{\omega }\,\!$ .
Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina $X\,\!$ , na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení $X^{2}\,\!$ do $X\,\!$ (obecněji $X^{n}\,\!$ do $X\,\!$ , kde $n\,\!$ je arita konkrétní operace).