Otevřít hlavní menu

Kardinální aritmetika

Definice kardinálního součtu a součinuEditovat

Jsou-li   dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

  •  
  •  

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

Vlastnosti kardinálního součtu a součinuEditovat

Vztah kardinálních a ordinálních operacíEditovat

Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.

Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.

Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):

  •  
  •  
  •  
  •  

Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:

  •   pro ordinální součet, ale
  •   pro kardinální součet.
  •   pro ordinální součin, ale
  •   pro kardinální součin.

Trivialita kardinálního součtu a součinuEditovat

Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:

  • pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně používaným operacím součtu a součinu
  • pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů):  

Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení

  •  

Definice kardinální mocninyEditovat

Jsou-li   dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu   jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny   do množiny  .

Základní vlastnosti kardinální mocninyEditovat

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

  •  
  •   pro  
  •  
  •  
  •  
  •  


Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

  •   pro   nekonečné a   konečné
  •   pro   nekonečné a  

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím   a  , dostávám výsledek
 ,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny   - a to je vlastně totéž, jako potenční množina  

Dá se ukázat, že   má stejnou mohutnost jako množina   všech reálných čísel, tj.   - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

Co víme o kardinálních mocninách čísla 2Editovat

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde   ) pro které   platí
  ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua:  , což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotéza se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza   nebo   .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce   jsou následující tři údaje:

  1.  
  2.  
  3.   , kde   je kofinál kardinálu kde  


Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
  pro každý ordinál  

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že

  •  
  •  
  •  
  •  

ale

  •  

Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.

Související článkyEditovat