Neeukleidovská geometrie

geometrie nesplňující pátý Eukleidův postulát

Neeukleidovská geometrie je obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři Eukleidovy postuláty), které nesplňují pátý Eukleidův postulát. Jejími nejdůležitějšími případy jsou hyperbolická geometrie, eliptická geometrie (a její zvláštní případ sférická geometrie), Riemannova geometrie a absolutní geometrie. Geometrie splňující i pátý postulát se nazývá eukleidovská.

Trojúhelník se třemi pravými úhly v eliptické geometrii.

HistorieEditovat

Již od antiky se nejlepší světoví matematikové snažili podat důkaz, že pátý Eukleidův postulát je důsledkem prvních čtyř. Tento postulát je totiž výrazně složitější než postuláty zbylé, a to nejen svým zněním ale také významem – nepopisuje totiž žádnou fundamentální vlastnost základních geometrických objektů, ale je spíše jistým netriviálním tvrzením o nich. Výsledkem těchto neúspěšných pokusů o důkaz je celý seznam vět, které jsou ekvivalentní s pátým postulátem (tj. mohou jej nahradit). Mezi ně patří například věta „součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým“ nebo Pythagorova věta.

Pokrok přinesl důkaz sporem. Ital Girolamo Saccheri uznáním negace pátého axiomu nalezl tvrzení, které se lišilo od geometrie dosud popsané. Objevily se i další objevy, založené na negaci pátého axiomu, ale příliš odporovaly reálnému poznání světa, tak nebyly zveřejněny.

Jeden z prvních matematiků, kdo připustil myšlenku existence i jiné geometrie – odlišné od té Euklidovy, byl ruský matematik a zakladatel neeuklidovské geometrie N. I. Lobačevskij (Lobačevského neeuklidovská geometrie), podle Felixe Kleina zařazena jako hyperbolická geometrie. Patří sem i maďarský matematik János Bolyai, ten uveřejnil jedinou práci o nové geometrii a německý matematik Carl Friedrich Gauss, ten naopak nepublikoval o neeuklidovské geometrii.

V roce 1854 německý matematik Bernard Riemann ve své práci O hypotézách tvořících základy geometrie popsal druhou neeuklidovskou geometrie (podle Kleina eliptická). Eliptická geometrie vznikla později než hyperbolická. Kromě nahrazení pátého axiomu, bylo třeba pozměnit i druhý Euklidův axiom.[1]

 
Rovnostranný trojúhelník v eliptické, hyperbolické a Eukleidovské geometrii.

Chování rovnoběžek v různých geometriíchEditovat

 
Chování rovnoběžek v eukleidovské a dvou neeukleidovských geometriích.

Hlavním rozdílem neeukleidovské a eukleidovské geometrie je povaha rovnoběžek. Eukleidův pátý postulát je ekvivalentní tvrzení, že pro každou přímku p a bod A, který neleží na p, existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která neprotíná p. Naproti tomu v hyperbolické geometrii existuje nekonečně mnoho přímek procházejících bodem A a neprotínajících p, v eliptické geometrii se naopak jakákoliv dvojice přímek vzájemně protíná.

Další možný způsob popisu odlišností mezi těmito geometriemi je následující: uvažujme dvě přímky v dvojrozměrné rovině, které jsou kolmé k třetí přímce. V Eukleidovské geometrii mají takové přímky stejnou vzdálenost a označujeme je jako rovnoběžky. V hyperbolické geometrii jsou "zakřivené od sebe" a směrem od společné kolmice jejich vzdálenost roste. V eliptické geometrii jsou "zakřivené k sobě" až se protnou. Z tohoto důvodu neexistují v eliptické geometrii rovnoběžky. Odlišné vlastnosti přímek se společnou kolmicí v hyperbolické, eukleidovské a eliptické geometrii popisuje také Saccheriho čtyřúhelník.

Reference

  1. KRISTÝNA, Křížová. Neeuklidovská geometrie. , 2010 [cit. 2021-05-18]. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. . Dostupné online.

LiteraturaEditovat

  • Vopěnka, P., Rozpravy s geometrií – Otevření neeukleidovských geometrických světů, Medúza, 1995

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat