Homogenní polynom

Homogenní polynom, případně homogenní mnohočlen, je označení takového mnohočlenu, který má v každém ze svých členů stejný součet mocnin u proměnných, každý ze členů je tedy stejného stupně. Tedy například mnohočlen $x^{3}+2xy^{2}+3y^{3}$ je homogenní (všechny členy jsou stupně 3), naopak mnohočlen $x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$ homogenní není (krajní členy jsou stupně 2, zatímco prostřední je stupně 4).

Homogenizace polynomu

Každý mnohočlen lze homogenizovat přidáním jedné nové proměnné a dosazením náhradou stávajících výraznem s jinou proměnnou a to následujícím způsobem: Je-li dán mnohočlen $p(x_{1},\dots ,x_{n})$ s maximálním stupněm členů rovným $d$, pak k němu vytvoříme homogenizovaný polynom přidáním proměnné $x_{0}$:

$p_{H}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}\cdot p\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},{\frac {x_{2}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right)$

Dosazením $x_{0}=1$ lze naopak z homogenizovaného mnohočlenu získat mnohočlen původní.

Příklad

Pro mnohočlen $p(x,y)=x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$ získáme homogenizovaný mnohočlen dosazením ${\frac {x_{h}}{z_{h}}}\rightarrow x,{\frac {y_{h}}{z_{h}}}\rightarrow y$ a vynásobením $z_{h}^{4}$. Pak platí $p_{H}(x_{h},y_{h},z_{h})=z_{h}^{4}\cdot p\left({\frac {x_{h}}{z_{h}}},{\frac {y_{h}}{z_{h}}}\right)=x_{h}^{2}z_{h}^{2}+x_{h}^{2}y_{h}^{2}+y_{h}^{2}z_{h}^{2}$. Dosazením $z_{h}=1$ získáváme původní $x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$. Homogenizace mnohočlenu tedy v podstatě spočívá v tom, že se každý člen vynásobí takovou mocninou nově přidaného argumentu, aby se souhrnný stupeň každého členu rovnal souhrnnému stupni toho z členů, který ho má nejvyšší.