Otevřít hlavní menu

Analytická funkce

funkce, která má Taylorův rozvoj v každém bodě

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci to znamená na okolí bodu

,

kde je libovolný bod . Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna z okolí bodu . Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

PříkladyEditovat

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

 

pro   a  , kde  . Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu   a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok  ).

VlastnostiEditovat

  • Součet analytických funkcí je analytická funkce.
  • Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  • Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser