Otevřít hlavní menu

Matematická logika je vědní disciplína nacházející se na rozhraní mezi logikou a matematikou. Zabývá se zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz, teorie, axiomatizace, model, bezespornost, úplnost, rozhodnutelnost.

Matematická logika je exaktní vědaEditovat

Matematická (též formální) logika je založena a budována jako exaktní věda. Její exaktnost (podobně jako jiných exaktních věd) tkví v tom že, jak formální (matematické) objekty, tak i operace nad nimi jsou exaktně vytyčeny (tj. s nulovou vnitřní vágností [1], [2] významu), tedy tak, že každý ve formální logice (v dané exaktní vědě) vzdělaný člověk naprosto přesně (bez jakýchkoli pochyb) ví, co znamenají. To je podstata exaktnosti této disciplíny. V exaktních vědách se objevuje ještě jinak chápaná exaktnost, a to použitých metod a jimi získaných výsledků. Používají se metody exaktní (viz Matematika), pokud jsou k dispozici, a pokud nejsou, tak i přibližné. Jazyk logiky je formální jazyk a může reprezentovat (vypovídat o, popisovat) pouze entity exaktního světa. Nelze tedy např. ve formální logice za proměnnou považovat konstrukt přirozeného jazyka (slovo, větu), neboť má inherentně vágní, subjektivní a emocionální interpretaci (říkáme jí konotace), což je v rozporu s požadavkem příslušnosti do exaktního světa [3]. Je to omyl, se kterým se lze setkat v některých učebnicích logiky a umělé inteligence, porušením podmínky exaktní interpretace, a tak vybočením z hranic exaktního světa. Nelze zaměňovat (poměrně volně chápanou) logiku a formální logiku. Entity reálného světa může formální logika reprezentovat pouze prostřednictvím veličin, které mají tu vlastnost, že jsou měřitelnou elementární součástí světa reálného (sondami do něho, či jeho zástupci), i součástí světa exaktního (mají exaktní interpretaci), a tak tvoří most mezi oběma světy. Poznání uskutečněné s použitím veličin nazýváme umělé (exaktní Newtonovo) a poskytuje znalosti s nulovou vnitřní vágností viz věda. I formální jazyky musí (z mnoha důvodů) být schopny reprezentovat informaci s vágností. Jelikož vnitřní vágnost to být nemůže (z principu nesmí), může to být pouze jazykově uchopitelná nejistota (vnější vágnost), a pro ten účel je k dispozici (jazykové rozšíření o) popis fuzzy nebo stochastickými hodnotami veličin, a fuzzy či stochastickými vztahy mezi veličinami. Takové rozšíření expanduje aplikovatelnost jazyka - jeho vyjadřovací sílu. Princip je ten, že připustíme-li více nejistoty, můžeme se dovědět (viz poznání, věda), a tak i jazykově reprezentovat (tedy i sdělovat) více. Na toto reaguje formální logika budováním svých modifikací umožňujících reprezentovat a zpracovávat informaci s (jazykově uchopitelnou, tedy vnější) nejistotou, jako např. fuzzy logika.

Základní disciplínyEditovat

Současná matematická logika se dělí na tři rozsáhlé disciplíny, které spolu úzce souvisejí. Jsou to teorie důkazu, teorie modelů a teorie aritmetiky.

Související článkyEditovat

  1. B. Russell: Vagueness, The Australasian Journal of Psychology and Philosophy 1, June 1923, pp. 84.--92.
  2. Křemen, J.: Modely a systémy ACADEMIA, Praha 2007.
  3. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování. Slaboproudý obzor. Roč. 68 (2013), č. 1., str. 7 – 11.