Otevřít hlavní menu

Rozhodnutelnost je matematický pojem z oblasti matematické logiky. Vyjadřuje, zda existuje konečný algoritmus, který pro každou formuli určí, zda je v dané teorii dokazatelná nebo není. Teorie, pro niž takový algoritmus existuje, se nazývá rozhodnutelná, v opačném případě pak nerozhodnutelná. Problematika rozhodnutelnosti úzce souvisí s Gödelovými větami o neúplnosti.

DefiniceEditovat

Rozhodnutelná teorieEditovat

Teorie je rozhodnutelná, pokud množina všech formulí v ní dokazatelných je rekurzivní. Není-li teorie rozhodnutelná, nazývá se nerozhodnutelná.

Silně nerozhodnutelná strukturaEditovat

Struktura se nazývá silně nerozhodnutelná, je-li nerozhodnutelná každá teorie, která ji má za model.

VlastnostiEditovat

Rozhodnutelnost či nerozhodnutelnost se přenáší mezi teoriemi, mezi nimiž je určitý vztah. Nejpoužívanější tvrzení, která o tomto hovoří, jsou následující:

  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o konečně mnoho axiomů v témže jazyce je rozhodnutelné.
  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o definice je rozhodnutelné.
  • Teorie, v níž je interpretovatelná nerozhodnutelná teorie, je také nerozhodnutelná.
  • Konzervativní rozšíření nerozhodnutelné teorie je nerozhodnutelné.

O silně nerozhodnutelných strukturách platí:

  • Je-li v nějaké struktuře definovatelná silně nerozhodnutelná struktura, pak je tato struktura také silně nerozhodnutelná.

Dále se často používá:

  • Rekurzivně axiomatizovatelná nerozhodnutelná teorie je neúplná.

PříkladyEditovat

Důsledky nerozhodnutelnosti Robinsonovy aritmetikyEditovat

Robinsonova aritmetika je nerozhodnutelná teorie. Dokonce každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky je nerozhodnutelné. Tato dvě tvrzení mají mnoho důsledků:

Rozhodnutelné teorieEditovat

Následující teorie jsou rozhodnutelné:

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat