Sloupcový vektor

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice typu $m\times 1$ , tj. matice sestávající z jediného sloupce o $m$ prvcích:

{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis editovat

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují mezerami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis v tabulce níže).

	Řádkový vektor	Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis	$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$	${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}{\text{ nebo }}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})^{\mathrm {T} }$
Alternativní zápis	$(x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m})$	${\begin{pmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{pmatrix}}$

Operace editovat

Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

Skalární součin dvou vektorů ${\boldsymbol {x}}$ a ${\boldsymbol {y}}$ je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru ${\boldsymbol {x}}$ sloupcovým vektorem ${\boldsymbol {y}}$ :

\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3}){\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}

Odkazy editovat

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

Literatura editovat

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články editovat

Kovariance a kontravariance vektorů