Matice přechodu

Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech.

Matice přechodu pro otočení soustavy souřadnic.

Transformace souřadnicEditovat

Budeme uvažovat dvě soustavy souřadnic pro vektory ve vektorovém prostoru. Jsou-li   a   souřadnice téhož vektoru ve dvou různých souřadných soustavách   a  , je možné pomocí matice přechodu   pro přechod od báze   k   psát  . Matice   má tedy ve sloupcích souřadnice vektorů báze   vyjádřené v bázi  .

PříkladEditovat

Matice přechodu je ilustrována na obrázku. Soustava   má osy vodorovně a svisle, odpovídá šedé mřížce. Soustava   je pootočená proti směru hodinových ručiček a znázorněna modrou mřížkou. Počátek je pro obě soustavy ve středu obrázku a proto můžeme místo vektorů pracovat i s body. Jednotkové vektory soustavy   jsou znázorněny červenou a zelenou barvou. Matice přechodu je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice těchto vektorů v šedé soustavě   a je v obrázku vlevo nahoře. Vektor   je součtem trojnásobku prvního a dvojnásobku druhého bázového vektoru soustavy  . To definuje souřadnice vektoru v soustavě  . Souřadnice v soustavě   je možné najít po dosazení souřadnic vektorů   a   v bázi   do vztahu  . Protože souřadnice vektorů   a   tvoří sloupce matice přechodu, odpovídá tento zápis maticovému součinu zapsanému v levém dolním rohu obrázku.

Transformace lineárního zobrazeníEditovat

Má-li zobrazení v bázi   matici  , platí pro vzor   a obraz   vztah  . V bázi   poté platí   a matice   je maticí téhož zobrazení v soustavě  . V technicky významných případech je transformace realizována pootočením a v takovém případě je matice přechodu ortogonální a její inverzní matice   je rovna matici transponované  .

Využití matice přechodu ve fyzice a v technické praxiEditovat

Transformace je výhodná zejména pokud bázi nové soustavy souřadnic tvoří vlastní vektory zobrazení. V takové bázi je matice zobrazení diagonální a mimodiagonální prvky se neuplatní. Srovnej obecnou difuzní rovnici, ve které vystupuje i smíšená druhá derivace a matematickou formulaci rovnice vedení tepla, kde se již předpokládá vhodná volba soustavy souřadnic, všechny druhé derivace jsou podle jedné proměnné a smíšené derivace se nevyskytují.

V technické praxi v konstitutivních zákonech pro ortotropní materiály bývá obvyklé tabelovat hodnoty pro vlastní směry materiálu a pro případné výpočty v jiných souřadných soustavách se příslušné veličiny přepočítají pomocí matice přechodu. Kromě přímého přístupu pomocí matice transformace je možné využít i další inženýrské techniky produkující jinými prostředky stejné výsledky, například použití směrových kosinů (každá komponenta matice přechodu vyjadřuje kosinus úhlu mezi jednou osou staré a jednou osou nové soustavy souřadnic) nebo Mohrovy kružnice. Například pro dřevo stačí určit tři součinitele vedení tepla v axiálním, radiálním a tangenciálním směru. Pokud materiál modelujeme v souřadné soustavě mající osy v těchto směrech, je matice součinitele tepelné vodivosti diagonální. Pokud je nutné studovat materiál v jiné souřadné soustavě, například kvůli geometrickým vlastnostem, přepočet do jiné soustavy realizuje právě matice přechodu.

Související článkyEditovat

Kategori:Matice