Funkce (matematika)

binární relace přiřazující každému prvku zdrojové množiny právě jeden prvek cílové množiny
(přesměrováno z Algebraická funkce)

Funkce je v matematice název pro zobrazení z množiny na nebo do číselného tělesa (množiny reálných nebo komplexních čísel), či na nebo do vektorového prostoru tvořeného uspořádanými n-ticemi čísel v případě vektorové funkce. Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny (kde množina se nazývá definiční obor funkce) přiřadí právě jedno číslo z množiny (kde množina resp. podmnožina se nazývá obor hodnot funkce).

Zobrazení z množiny M (nahoře) resp. množiny D (dole) na množinu T (přerušovaná čára) resp. do množiny T (plná čára).

Definice editovat

Funkce   je binární relací  , kde každému prvku   je přiřazeno právě jedno číslo   tak, že   (jestliže   a  , pak  ). Místo   píšeme  , kde   nazýváme nezávisle proměnnou (argumentem) funkce   a   nazýváme závisle proměnnou (funkční hodnotou) funkce  .

Definičním oborem (doménou) funkce je podmnožina   množiny   všech prvků  , ke kterým v relaci existuje právě jedna uspořádaná dvojice  , kde  .

Oborem hodnot (kodoménou) funkce je množina všech prvků  , ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice  , kde  .

U prvků množiny  , které nejsou prvky definičního oboru  , říkáme, že funkce v nich není definována. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor  , pak se za něj obvykle považuje množina   všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina přirozených, celých, racionálních, reálných nebo komplexních čísel. Argumenty definičního oboru mohou mít obecně více dimenzí, pokud mají nekonečnou dimenzi, nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Značení editovat

Vektorovou funkci n reálných proměnných značíme  , pak pro m=1 dostaneme  , tj. reálná funkce více reálných proměnných a pro n=1 dostaneme  , tj. reálná funkce reálné proměnné, kde zaměníme-li množinu reálných čísel   za množinu komplexních čísel  , mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné.

Funkci n reálných proměnných dále značíme:

  •  
  •   pro  
  •  , kde   představuje bod v n-rozměrném prostoru
  •  , kde   představuje polohový vektor bodu v n-rozměrném prostoru.

Zadání editovat

Tabulkou (výčtem hodnot) editovat

Funkci s diskrétním (oddělené hodnoty netvořící souvislý interval) oborem hodnot (ať už s diskrétním definičním oborem nebo funkci po částech konstantní) můžeme zadat výčtem hodnot, obvykle uspořádaným do tabulky.

Příklad editovat

Příkladem může být zadání funkce např. tabulkou

  1 2 5 7 9
  2 4 5 3 3

Definičním oborem je zde množina   a oborem hodnot je množina  .

Graficky editovat

Grafickým zadáním funkci vyjádříme grafem.

Příklad editovat

Příklad zadání funkce grafem (  označuje definiční obor a   obor hodnot)

 
Zadání funkce grafem.

Analyticky editovat

Analytickým zadáním, tj. předpisem, rozumíme buďto explicitní vyjádření funkce ve tvaru  , nebo implicitní vyjádření funkce ve tvaru  . Dalším způsobem zadání funkce je vyjádření v parametrickém tvaru soustavou rovnic  ,  , kde   je vhodný parametr.

Příklad editovat

Např.   je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou funkci zapsat rovnicí  . Pro vyjádření v parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic  ,  .

Rekurentně editovat

Rekurentním zadáním, tj. předpisem, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami funkce takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příklad editovat

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy   a   pro  .

Uvedenou funkci lze také zapsat jako  , tj. tato funkce počítá faktoriál čísla  . Rekurzivní funkce našly uplatnění především ve výpočetní technice.

Průběh editovat

Vyšetřujeme-li průběh funkce, zkoumáme vlastnosti (graf) funkce, tj. hledáme body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce určujeme:

 
Stacionární (červené) a inflexní (modré) body funkce  

Jako stacionární bod resp. inflexní bod funkce   se označuje každý bod   jejího definičního oboru, v němž je první resp. druhá derivace funkce nulová, tj. ve stacionárním resp. inflexním bodě platí:   resp.   pokud v tomto bodě derivace existují.

Jako extremální bod funkce   se označuje každý stacionární bod   jejího definičního oboru, v němž je druhá derivace funkce kladná (ostré lokální minimum) resp. záporná (ostré lokální maximum), tj. v extremálním bodě platí:   resp.   pokud v tomto bodě derivace existují.

Příklad editovat

 
Průběh funkce  

Vyšetřujme průběh funkce  :

  • zatímco lineární funkce   je definována pro všechna  , funkce logaritmus je definována pouze pro  , tj. definičním oborem vyšetřované funkce bude interval  .
  • průsečík s osou   získáme z rovnice  , tj.   a průsečík s osou   získáme z rovnice  , tj.   a  .
  • určíme limitu v každém bodě   definičního oboru:  , tj. funkce je na definičním oboru spojitá.
  • určíme první derivaci funkce a položíme ji rovnu nule:  , tj.  , tj. bod   je stacionární a
funkce je rostoucí na intervalu, ve kterém platí  , tj.  , tj. pro  ,
funkce je klesající na intervalu, ve kterém platí  , tj.  , tj. pro  ,

tj. z rozložení intervalů monotonie lze určit, že stacionární bod je ostré lokální minimum ( ), funkce je tedy zdola omezená.

  • vzhledem k tomu, že   na celém definičním oboru, nemá funkce žádný inflexní bod.
  • asymptoty k funkci neexistují, neboť  .
  • funkční hodnota lokálního minima je  .
  • určíme-li v nulovém bodě pomocí l'Hospitalova pravidla jednostrannou limitu zprava:  , funkci můžeme v nulovém bodě dodefinovat:  , tj. rozšířit definiční obor na interval  .

Prostá funkce editovat

Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát než jednou. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně její funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.

Definice editovat

Funkci   na definičním oboru   označujeme jako prostou na  , pokud pro každé dvě hodnoty   z   platí  , tedy pro libovolnou dvojici různých hodnot   jsou různé i hodnoty funkce  .

Příklad editovat

Příkladem prosté funkce je lineární funkce   pro  , naopak příkladem neprosté funkce je kvadratická funkce  , neboť např.  .

Vlastnosti editovat

Pokud je funkce   na   ryze monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na   také prostá, neboť se v žádném jiném bodě nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ryze monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ryzí monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ryze monotonní nejsou. Např. prostá funkce   je na množině   rostoucí, zatímco na množině   klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

Souvislost s inverzní funkcí editovat

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu  , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Omezená funkce editovat

 
Červená funkce (Hyperbola) je omezená pouze zdola, zelená (Parabola) pouze shora a modrá (Hyperbolický tangens) je omezená shora i zdola

Mějme funkci   a množinu  .

Existuje-li číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že funkce   je na   shora ohraničená (omezená). Existuje-li supremum oboru hodnot funkce  , pak také existuje číslo  , a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že funkce   je na   zdola ohraničená (omezená). Existuje-li infimum oboru hodnot funkce  , pak také existuje číslo  , a funkce je tedy zdola omezená.

Existuje-li číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že funkce   je na   ohraničená (omezená). Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž  .

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum. Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).

Algebraická funkce editovat

Polynomiální funkce editovat

Polynomiální funkci lze vyjádřit ve tvaru:

 ,

kde   a   je stupeň polynomu  .

Racionální funkce editovat

Racionální funkci lze vyjádřit ve tvaru:

 ,

kde   a   je stupeň polynomu  .

Iracionální funkce editovat

Iracionální funkce jsou funkce obsahující ve svém předpisu výraz  , kde   a   jsou vzájemně nesoudělná čísla, jako např. druhá odmocnina.

Transcendentní funkce editovat

Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi nižší transcendentní funkce se řadí funkce goniometrické, cyklometrické, hyperbolické, hyperbolometrické či exponenciální a logaritmické. Mezi vyšší transcendentní funkce se řadí například chybová funkce či eliptické integrály.

Mnohoznačná funkce editovat

Termín mnohoznačná (vícehodnotová) funkce vznikl v komplexní analýze analytickým rozšířením jednoznačné (jednohodnotové) funkce. Často se stává, že známe hodnotu komplexní analytické funkce   komplexní proměnné   v určitém okolí bodu  . To je případ funkcí definovaných implicitně nebo Taylorovou řadou v okolí  . V takovém případě lze rozšířit obor hodnot jednohodnotové funkce   podél křivek v komplexní rovině vedoucích z bodu   do bodu  . Přitom zjistíme, že hodnota rozšířené funkce v bodě   závisí na zvolené křivce z   do   a protože žádná z nových hodnot není přirozenější než ostatní, jsou všechny začleněny do vícehodnotové funkce. Příkladem je n-tá odmocnina komplexního čísla, což je n-značná funkce, např. pro druhou odmocninu dostaneme:

 

Operace s funkcemi editovat

Mějme funkci   resp.   s definičním oborem   resp.  . Společný definiční obor obou funkcí je průnikem obou definičních oborů, tj.  .

Binární operace editovat

Součtem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Součinem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Podílem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  , kde   =  .

Skládáním funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  , kde   =  .

Konvolucí funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Korelací funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Složením funkcí   a   je množina  . Operace skládání funkcí nemusí být v obecném případě komutativní. Zatímco konvoluce je funkcí komutativní, pro vzájemnou korelaci to obecně neplatí (je komutativní pouze pro Hermitovské funkce, tj. funkce, pro které platí   pro všechna  , kde symbol   značí komplexní sdružení).

Unární operace editovat

Inverzí funkce   na   označíme funkci   takovou, že  , kde pro každé   existuje právě jedno   tak, že  , tj.   je prostá funkce.

Graf inverzní funkce   je osově souměrný s grafem funkce   podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce   je inverzní sama k sobě.

Literatura editovat

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články editovat

Externí odkazy editovat