Eliptické integrály

Eliptický integrál je v integrálním počtu jednou z řady příbuzných funkcí definovaných pomocí integrálů, které poprvé studovali Giulio Fagnano a Leonhard Euler okolo roku 1750. Jejich název pochází z toho, že původně vznikly v souvislosti s problémem nalezení délky oblouku elipsy.

Definice

Moderní matematika definuje eliptický integrál jako funkci $f$, kterou lze vyjádřit ve tvaru:

$f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt$,

kde $R$ je racionální funkce dvou proměnných, $P$ je polynom třetího nebo čtvrtého stupně bez násobných kořenů a $c$ je konstanta.

Druhy integrálů

Provedeme-li v Jacobiho integrálu substituci $t=\sin \varphi$, dostaneme úplný eliptický integrál prvního druhu (s modulem k):

$F(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$.

Úplný eliptický integrál druhého druhu máme ve tvaru:

$E(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ \ d\varphi$

kde $0<k<1$.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Jacobiho eliptické funkce na Wikimedia Commons

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Autoritní data	PSH: 7537