Eliptické Legenderovy (Jacobiovy ) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus . Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu
u
=
∫
0
x
d
t
1
−
t
2
1
−
k
2
t
2
=
F
(
k
,
arcsin
x
)
,
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle u=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}=F(k,\arcsin x),\quad x\in (0,1)}
.
Máme pak tedy
x
=
sn
u
{\displaystyle x=\operatorname {sn} \,u}
na intervalu
u
∈
(
0
,
K
)
{\displaystyle u\in (0,K)}
, kde
K
=
F
(
k
,
π
2
)
{\displaystyle K=F(k,{\frac {\pi }{2}})}
. Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu
u
=
K
{\displaystyle u=K}
a výsledek liše rozšířit kolem bodu
u
=
0
{\displaystyle u=0}
. Výsledná funkce s definičním oborem délky
4
K
{\displaystyle 4K}
se periodicky rozšíří na celá reálná čísla . Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.
Funkci
cn
u
{\displaystyle \operatorname {cn} \,u}
lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí , tedy
cn
2
u
=
1
−
sn
2
u
{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}u=1-\operatorname {sn} ^{2}u}
,
přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc
cn
0
=
1
{\displaystyle \operatorname {cn} \,0=1}
, stejně jako u kosinu.
Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:
dn
2
u
=
1
−
k
2
sn
2
u
{\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}\,u=1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}\,u}
Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a
dn
0
=
1
{\displaystyle \operatorname {dn} \,0=1}
.
Zatímco funkce
sn
{\displaystyle \operatorname {sn} }
, respektive
cn
{\displaystyle \operatorname {cn} }
přejdou pro
k
=
0
{\displaystyle k=0}
v
sin
{\displaystyle \sin }
a
cos
{\displaystyle \cos }
, funkce
dn
{\displaystyle \operatorname {dn} }
přejde v identickou jedničku.
Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:
sn
(
−
u
)
=
−
sn
u
cn
(
−
u
)
=
cn
u
dn
(
−
u
)
=
dn
u
{\displaystyle \operatorname {sn} (-u)=-\operatorname {sn} \,u\quad \operatorname {cn} (-u)=\operatorname {cn} \,u\quad \operatorname {dn} (-u)=\operatorname {dn} \,u}
sn
2
u
+
cn
2
u
=
1
dn
2
u
−
k
2
cn
2
u
=
1
−
k
2
dn
2
u
+
k
2
sn
2
u
=
1
{\displaystyle \operatorname {sn} ^{2}u+\operatorname {cn} ^{2}u=1\quad \operatorname {dn} ^{2}u-k^{2}\operatorname {cn} ^{2}u=1-k^{2}\quad \operatorname {dn} ^{2}u+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}u=1}
d
d
u
sn
u
=
cn
u
dn
u
d
d
u
cn
u
=
−
sn
u
dn
u
d
d
u
dn
u
=
−
k
2
sn
u
cn
u
{\displaystyle {\frac {d}{du}}\operatorname {sn} \,u=\operatorname {cn} \,u\,\operatorname {dn} \,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {cn} \,u=-\operatorname {sn} \,u\,\operatorname {dn} \,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {dn} \,u=-k^{2}\operatorname {sn} \,u\,\operatorname {cn} \,u}
Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací
sn
{\displaystyle \operatorname {sn} }
a
cn
{\displaystyle \operatorname {cn} }
.
Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky
l
{\displaystyle l}
, tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
. Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu
ϕ
<
ψ
0
{\displaystyle \phi <\psi _{0}}
, je tento čas dán jako integrál
t
=
l
g
∫
0
arcsin
sin
ϕ
2
sin
ψ
0
2
d
ψ
1
−
sin
2
ψ
0
2
sin
2
ψ
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\arcsin {\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}}{\frac {d\psi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\psi _{0}}{2}}\sin ^{2}\psi }}}}
.
Provedeme-li v integrálu substituci za
sin
ψ
{\displaystyle \sin \psi }
a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice
ξ
{\displaystyle \xi }
, kde
ξ
=
sin
ϕ
2
sin
ψ
0
2
{\displaystyle \xi ={\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}}
,
dostaneme vyjádření
t
=
l
g
∫
0
ξ
d
p
1
−
p
2
1
−
k
2
p
2
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\xi }{\frac {dp}{{\sqrt {1-p^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}p^{2}}}}}}
,
kde bylo označeno
k
=
sin
ψ
0
2
{\displaystyle k=\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}
.
Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto
ξ
(
t
)
=
sn
ω
t
{\displaystyle \xi (t)=\operatorname {sn} \,\omega t}
,
kde
ω
{\displaystyle \omega }
je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy
ω
=
g
l
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}
.