Hyperbolický tangens

Hyperbolický tangens je hyperbolická funkce. Značí se $\tanh(x)$.

Graf hyperbolického tangens

Definice

Hyperbolický tangens je definován pomocí hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu, přičemž

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ a

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$, tedy

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}$.

Hyperbolický tangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako

$\tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!$, kde ${\rm {i}}$ je imaginární číslo definované jako ${\rm {i}}^{2}=-1$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

$D{\bigl (}\tanh x{\bigr )}=\mathbb {R}$

• Obor hodnot funkce
• $H{\bigl (}\tanh x{\bigr )}={\bigl (}-1,\ 1{\bigr )}$

• Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka

$\tanh(-x)=-\tanh(x).$

• Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}$

$\tanh(2x)={\frac {2\tanh(x)}{1+\tanh ^{2}(x)}}$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh(x)-1)}}$

• Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens (argtanh x):

${\mbox{argtanh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$, kde $|x|<1$

• Derivace hyperbolického tangens:

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

• Neurčitý integrál:

$\int \tanh(ax)dx=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C$, kde $C$ je integrační konstanta.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolický tangens na Wikimedia Commons