Druhá odmocnina

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Jde o nejběžnější typ odmocniny, proto se často označuje pouze jako odmocnina. Pro libovolný matematický objekt s definovanou operací umocňování (číslo, matici, funkci...) je druhá odmocnina z , označovaná jako , definována jako objekt , pro který platí .

Graf funkce druhá odmocnina f(x) = √x tvoří jedna větev paraboly souměrné podle osy x.

Druhá odmocnina má také geometrický význam. je délka strany čtverce o obsahu . Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevení iracionálních čísel.

DefiniceEditovat

Obor reálných číselEditovat

Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla   jako takové nezáporné reálné číslo  , pro které platí, že  . Značíme  .

Jde tedy o inverzní funkci k druhé mocnině v nezáporných číslech; druhá mocnina není mimo nezáporná čísla prostou funkcí, proto ji nelze invertovat na celém jejím definičním oboru. Přestože tak například vedle   platí také  , druhá odmocnina je podle definice vždy nezáporné číslo, proto  . Takto ovšem nelze omezit množinu kořenů rovnice obsahující druhou mocninu – rovnice   má pro   dva kořeny  , např. vztahu   tak vyhovují   i  .

Obor komplexních číselEditovat

Druhá odmocnina komplexního čísla   je rovna

 .

V komplexních číslech je definována odmocnina i pro záporná reálná čísla   – zjednodušením obecného vzorce lze získat  . Takto lze získat komplexní řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Pro obecné reálné číslo   lze vzorec zjednodušit na   a pro ryze imaginární číslo  ,   na  .

Odvození vzorce pro komplexní číslaEditovat

Vyjádříme   pomocí dvou nezáporných čísel   jako  . Definiční vztah   roznásobíme na  , rovnici rozdělíme na reálnou a imaginární část:

 

 

a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic v reálných číslech.

Vztahy mezi druhými odmocninami nezáporných číselEditovat

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, pak platí:

 
 
 

Hodnoty pro přirozená číslaEditovat

Hodnotou druhé odmocniny z čísel 1, 4, 9, 16... je přirozené číslo. Ve všech ostatních případech je hodnotou číslo iracionální.

    1     2,449     3,317     4
    1,414     2,646     3,464     4,123
    1,732     2,828     3,606     4,243
    2     3     3,742     4,359
    2,236     3,162     3,873     4,472

OdhadEditovat

Pro číslo racionální větší než 1 a menší než 100 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.

2 <   < 3 (22 = 4, 32 = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa (od řádu jednotek včetně). Počet skupin určí počet číslic výsledku. První skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem pro čísla menší než 100 s následným doplněním nul do počtu zbývajících skupin.

200 <   < 300 (skupiny 5'27'44 =   . 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou, kdy se případná neúplná skupina první zprava doplní připsáním nuly zprava.

0,06 <   < 0,07 (skupiny 0,00'40' =   : 100)

Iterativní metody výpočtuEditovat

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem, u kterého lze stanovit přesnost počtu desetinných míst výsledku. Následují příklady s postupem výpočtu odmocňování dvěma.

Beze zbytkuEditovat

 
a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích, kdy se případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.
  (výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)
b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. (  = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)
c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na des. čárku (b) a přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek)
d) z čísla (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b) (24 : (2 . 2) ≈ 6). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo, jinak musíme výsledek snížit o jedna a vypočítat rozdíl zbytku znova. Rozdíl zbytku je počítán ze zbytku (c) zmenšený o složeninu dvojnásobku neúplného výsledku s výsledným podílem vynásobený výsledným podílem, tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se výsledný podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,. a 20 zbytek)
e) opakuje se postup (c) s výsledkem (d) pokud není rozdíl nulový na určitý počet desetinných míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4

Zkouška: 25,42 = 645,16

Se zbytkem, odmocnina např. na tři desetinná místaEditovat

 
a)   (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)
b)   = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)
c) 7 - 22 = 3; tedy 3'00 ⇒ 300
d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..
e1) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.
e2) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,6452 = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: dalším pokračováním en) výsledek jen zpřesníme.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat