Inverzní matice

V matematice je inverzní matice, reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici ${\boldsymbol {A}}$ se značí ${\boldsymbol {A}}^{-1}$. Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.

Matice v součinu jsou navzájem inverzní, protože jsou čtvercové a výsledkem součinu je jednotková matice.

Související informace naleznete také v článku Regulární matice.

Inverzní matice se používají v lineární algebře mimo jiné při řešení soustav lineárních rovnic a v některých rozkladech matic.

Výpočet inverzní matice se nazývá invertování nebo též inverze matice a lze jej provést pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace nebo pomocí adjungované matice. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky.

Definice

Je-li ${\boldsymbol {A}}\in R^{n\times n}$ regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem $R$ (v praxi jde obvykle o těleso reálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}\in R^{n\times n}$, pro kterou platí:

${\boldsymbol {AA}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} _{n}$,

kde binární operací je maticový součin a symbol $\mathbf {I}$ značí jednotkovou matici stejného řádu $n$ jako má matice ${\boldsymbol {A}}$. Je-li $R$ je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.

Ukázka

Inverzní matice k reálné matici řádu 2

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&1\\6&4\end{pmatrix}}$

je

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&-{\tfrac {1}{2}}\\-3&1\end{pmatrix}}$,

protože platí:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&1\\6&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-{\tfrac {1}{2}}\\-3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4-3&-1+1\\12-12&-3+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}$

Inverzní matice k diagonální matici s prvky $d_{1},\ldots ,d_{n}\neq 0$ na diagonále se získá pomocí převrácených hodnot diagonálních prvků, protože:

$\operatorname {diag} \left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\cdot \operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1}\right)=\operatorname {diag} \left(1,\ldots ,1\right)=\mathbf {I_{n}}$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem $R$ s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu $\operatorname {GL} _{n}(R)$. Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:

$\mathbf {I} ^{-1}=\mathbf {I}$

Inverze k inverzní matici je opět původní matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{-1}={\boldsymbol {A}}$

Matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:

$({\boldsymbol {AB}})^{-1}={\boldsymbol {B}}^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}$

Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:

$({\boldsymbol {A}}_{1}{\boldsymbol {A}}_{2}\cdots {\boldsymbol {A}}_{k})^{-1}={\boldsymbol {A}}_{k}^{-1}\cdots {\boldsymbol {A}}_{2}^{-1}{\boldsymbol {A}}_{1}^{-1}$

pro $k\in \mathbb {N}$ . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{k}\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{k}$

Uvedená matice se obvykle značí ${\boldsymbol {A}}^{-k}$.

Vlastnosti matic nad tělesy

Pro inverzní matici s prvky z tělesa $T$ platí navíc i následující vlastnosti:

• Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem $c\in T$ platí:

$(c{\boldsymbol {A}})^{-1}=c^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}$

• Inverze transpozice matice se rovná transpozici inverzní matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$

• Totéž platí pro hermitovskou transpozici komplexní matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$

• Plná hodnost (neboli regularita) matice se při inverzi zachovává:

$\operatorname {rank} \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})=n$

• Pro determinant inverzní matice platí:

$\operatorname {det} \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)=(\det {\boldsymbol {A}})^{-1}$

• Je $\lambda$ vlastní číslo matice ${\boldsymbol {A}}$ příslušné vlastnímu vektoru ${\boldsymbol {x}}$, pak $\lambda ^{-1}$ je vlastní číslo inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ a přísluší stejnému vlastnímu vektoru ${\boldsymbol {x}}$ . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru ${\boldsymbol {x}}$ zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici ${\boldsymbol {A}}$ i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu ${\boldsymbol {A}}^{-1}$.

Invarianty

Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:

• horní a dolní trojúhelníkové matice a striktně horní a dolní trojúhelníkové matice,
• pozitivně definitní a negativně definitní matice,
• symetrické, persymetrické, bisymetrické a středově symetrické matice,
• unimodulární a celočíselné unimodulární matice.

Výpočet

V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.

Gaussova–Jordanova eliminace

Podrobnější informace naleznete v článku Gaussova–Jordanova eliminace.

Reprezentace rovnic

Hledaná inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ je řešením maticové rovnice ${\boldsymbol {AX}}=\mathbf {I}$:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\x_{n1}&\ldots &x_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&~&0\\~&\ddots &~\\0&~&1\end{pmatrix}}$

Výpočet $j$-tého sloupce ${\boldsymbol {x}}_{j}$ inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}$, kde na pravé straně je $j$-tý vektor ${\boldsymbol {e}}_{j}$ přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců ${\boldsymbol {x}}_{j}=(x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{nj})^{\mathrm {T} }$ předpisem:

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {X}}=\left({\boldsymbol {x}}_{1}~|~{\boldsymbol {x}}_{2}~|~\ldots ~|~{\boldsymbol {x}}_{n}\right)$

Postup

Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit $n$ soustav lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}$ současně. K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů ${\boldsymbol {A}}$ rozšíří o jednotkovou matici $\mathbf {I}$ na blokovou matici:

$(\,{\boldsymbol {A}}\,|\,\mathbf {I} \,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\,&\,1&~&0\\\vdots &~&\vdots \,&\,~&\ddots &~\\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\,&\,0&~&1\end{array}}\right)$

Poté je matice ${\boldsymbol {A}}$ převedena do horního trojúhelníkového tvaru pomocí elementárních řádkových úprav, přičemž jednotková matice $\mathbf {I}$ je upravována též:

$(\,{\boldsymbol {D}}\,|\,{\boldsymbol {B}}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}\,*\,&\ldots &\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\\~&\ddots &\vdots \,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\end{array}}\right)$

V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda ${\boldsymbol {A}}$ má inverzní matici. Matice ${\boldsymbol {A}}$ je invertibilní, právě když matice ${\boldsymbol {D}}$ neobsahuje nulu na hlavní diagonále. V takovém případě lze matici ${\boldsymbol {D}}$ nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:

$(\,\mathbf {I} \,|\,{\boldsymbol {A}}^{-1}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&~&0\,&\,x_{11}&\ldots &x_{1n}\\~&\ddots &~\,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&1\,&\,x_{n1}&\ldots &x_{nn}\end{array}}\right)$,

kde na pravé straně je hledaná inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$.

Ukázky

Inverzní matice k reálné matici

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace:

$\left({\begin{array}{cc|cc}1&2\,&\,1&0\\{\color {BrickRed}2}&3\,&\,0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&{\color {OliveGreen}2}\,&\,1&0\\0&-1\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&{\color {Blue}-1}\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&1\,&\,2&-1\end{array}}\right)$

Nejprv je eliminována $\color {BrickRed}2$ pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována $\color {OliveGreen}2$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí $\color {Blue}-1$. Inverzní maticí k ${\boldsymbol {A}}$ je:

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}$

Inverzní matice k reálné matici

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\2&1&0\end{pmatrix}}$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě $\color {BrickRed}2$ v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven $0$, proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\{\color {BrickRed}2}&4&1\,&\,0&1&0\\{\color {BrickRed}2}&1&0\,&\,0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&0&1\,&\,-2&1&0\\0&{\color {BrickRed}-3}&0\,&\,-2&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)$.

Získaná matice ${\boldsymbol {D}}$ je regulární, stejně jako ${\boldsymbol {A}}$. Nyní zbývá eliminovat $\color {OliveGreen}2$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit $\color {Blue}-3$:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&{\color {OliveGreen}2}&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}{\color {Blue}1}&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&{\color {Blue}-3}&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&1&0\,&\,{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)$.

Inverzní matice k ${\boldsymbol {A}}$ je:

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\-2&1&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&-1\\-6&3&0\end{pmatrix}}$

Korektnost

Fakt, že Gaussova–Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice ${\boldsymbol {A}}$ se pomocí $k$ elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny ${\boldsymbol {E}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {E}}_{k}$, pak platí:

$\mathbf {I} ={\boldsymbol {E}}_{k}\cdots {\boldsymbol {E}}_{2}{\boldsymbol {E}}_{1}{\boldsymbol {A}}$

Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí ${\boldsymbol {A}}^{-1}$, což dává:

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {E}}_{k}\cdots {\boldsymbol {E}}_{2}{\boldsymbol {E}}_{1}\mathbf {I}$

Je-li matice ${\boldsymbol {A}}$ převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici ${\boldsymbol {A}}^{-1}$.

Numerické záležitosti

Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.

Výpočet inverze k matici řádu $n$ Gaussovou–Jordanovou eliminací má časovou složitost $O(n^{3})$.

Adjungovaná matice

Pomocí determinantu $\det \mathbf {A}$matice a adjungované matice $\mathop {\mathrm {adj} } \mathbf {A}$ (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce: $\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\mathop {\mathrm {adj} } \mathbf {A}$

Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice $\mathbf {A} ^{-1}$ má v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci prvek ${\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}$, kde $\mathbf {A} _{ji}$ je submatice získaná z matice $\mathbf {A}$ vynecháním $j$-tého řádku a $i$-tého sloupce.

Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy ${\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}$:

$x_{ij}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}$,

kde matice ${\boldsymbol {A}}_{i}$ vznikne nahrazením $i$-tého sloupce vektorem ${\boldsymbol {e}}_{j}$. Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle $i$-tého sloupce vede ke vztahu:

$x_{ij}={\frac {(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}}{\det {\boldsymbol {A}}}}$,

kde ${\boldsymbol {A}}_{ij}$ značí podmatici matice ${\boldsymbol {A}}$ vzniklou odstraněním $i$ -tého řádku a $j$-tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů $i$ a $j$ ). Subdeterminanty $\det {\boldsymbol {A}}_{ij}$ jsou také nazývány minory určené maticí ${\boldsymbol {A}}$. Čísla

$x_{ij}'=(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}$

se nazývají kofaktory matice ${\boldsymbol {A}}$ a dohromady tvoří kofaktorovou matici $(\operatorname {cof} {\boldsymbol {A}})_{ij}=x_{ij}'$. Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici ${\boldsymbol {A}}$ a značí se $\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}$. Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}$

Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že $\det {\boldsymbol {A}}$ je jednotkou v daném okruhu.

Vzorce pro matice řádů 2 a 3

Pro matice řádu 2 platí vzorec:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}$,

kde $\det {\boldsymbol {A}}$ lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.

Ukázky

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{4-6}}\,{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}}$

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:

${\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{8-2-2}}\,{\begin{pmatrix}4-1&2-0&1-0\\2-0&4-0&2-0\\1-0&2-0&4-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\2&4&2\\1&2&3\end{pmatrix}}$

Výpočetní složitost

Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu $n$ vyžaduje $\omega (n^{2})$ aritmetických operací, a každý z $n^{2}$ prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu $n$ měl časovou složitost $\omega (n^{4})$.

Inverze blokové matice

Je-li dána bloková čtvercová matice ${\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&{\boldsymbol {B}}\\{\boldsymbol {C}}&{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}$ kde ${\boldsymbol {A}}$ i Schurův doplněk ${\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}:={\boldsymbol {D}}-{\boldsymbol {CA}}^{-1}{\boldsymbol {B}}$ matice ${\boldsymbol {A}}$ v ${\boldsymbol {M}}$ jsou regulární matice, pak ${\boldsymbol {M}}$ je také regulární matice a platí pro ni:

${\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}$

Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}^{-1}&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}\\&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &-{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\-{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}^{-1}+{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}{\boldsymbol {CA}}^{-1}&-{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\\-({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}{\boldsymbol {CA}}^{-1}&({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Jsou-li naopak ${\boldsymbol {D}}$ i Schurův doplněk ${\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}:={\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {BD}}^{-1}{\boldsymbol {C}}$ matice ${\boldsymbol {D}}$ v ${\boldsymbol {M}}$ regulární, pak platí:

${\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}$

a pro inverzní matici:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}^{-1}&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}\\&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\-{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &-{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&-({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\-{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&{\boldsymbol {D}}^{-1}+{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}{\boldsymbol {BD}}^{-1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.

Charakteristický polynom

Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$ regulární čtvercová matice a $\chi _{\boldsymbol {A}}(t)=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots +c_{n}t^{n}$ je její charakteristický polynom, pak platí:

${\boldsymbol {A}}^{-1}=-{\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\left(c_{1}\mathbf {I} _{n}+c_{2}{\boldsymbol {A}}+\dots +c_{n}{\boldsymbol {A}}^{n-1}\right)$

Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. $\mathbf {I} _{n}$ značí jednotkovou matici řádu $n$.

Vztah vyplývá z Cayleyho–Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:

$\chi _{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {A}})=\mathbf {0} \,\,\Longleftrightarrow \,\,c_{0}\mathbf {I} _{n}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i}=\mathbf {0} \,\,\Longleftrightarrow \,\,-c_{0}\mathbf {I} _{n}={\boldsymbol {A}}\cdot \sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}\,\,\Longleftrightarrow \,\,{\boldsymbol {A}}^{-1}=\displaystyle -{\frac {1}{c_{0}}}\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}$

Ukázka

Charakteristický polynom matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}$ řádu 3 je kubický polynom $\chi _{\boldsymbol {A}}(t)=t^{3}-10t^{2}+3t+8$.

Dosazení do vzorce dává:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}^{-1}&=-{\frac {1}{c_{0}}}\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}\\\\&=-{\frac {1}{c_{0}}}\left(c_{1}\mathbf {I} _{3}+c_{2}{\boldsymbol {A}}+c_{3}{\boldsymbol {A}}^{2}\right)\\\\&=-{\frac {1}{8}}\left(3\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}21&28&51\\10&15&26\\22&32&58\end{pmatrix}}\right)\\\\&=-{\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}-6&8&1\\0&8&-4\\2&-8&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Numerické záležitosti

Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$ s regulární ${\boldsymbol {A}}$ neřeší pomocí inverzní matice

${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}$,

ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady

${\boldsymbol {A}}^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})^{k}$

za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.

Použití

Řešení lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.

Je-li matice $\mathbf {A}$ regulární, pak řešení rovnice $\mathbf {AX} =\mathbf {B}$ lze popsat přímo vztahem $\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B}$.

Speciální matice

Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:

• U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}$,
• u ortogonálních matic se inverze shoduje s transpozici: ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$,
• u unitárních matic se inverzní rovná hermitovské transpozici: ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.

Inverzi lze určit přímo např. pro diagonální matice, Frobeniovy matice, Hilbertovy matice a tridiagonální Toeplitzovy matice.

Matice inverzního zobrazení

Jsou-li dány $V$ a $W$ dva $n$-dimenzionální vektorové prostory nad tělesem $T$ a bijektivní lineární zobrazení $f\colon V\to W$, pak jemu inverzní zobrazení $f^{-1}\colon W\to V$ je definováno vztahem:

$f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\operatorname {id}$,

kde $\operatorname {id}$ představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení ${\boldsymbol {A}}_{f},{\boldsymbol {A}}_{f^{-1}}\in T^{n\times n}$ (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů $V$ a $W$) pak platí vztah:

${\boldsymbol {A}}_{f^{-1}}={\boldsymbol {A}}_{f}^{-1}$

Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.

Duální báze

Je $V$ konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem $T$, pak odpovídající duální prostor $V^{\ast }$ je vektorový prostor lineárních funkcionálů $V\to T$ . Je-li $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ báze prostoru $V$, pak odpovídající duální bázi $\{v_{1}^{\ast },\ldots ,v_{n}^{\ast }\}$ prostoru $V^{\ast }$ lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:

$v_{i}^{\ast }(v_{j})=\delta _{ij}$,

kde $i,j\in \{1,\dots ,n\}$. Jestliže ${\boldsymbol {A}}_{v}=(x_{1}\mid \ldots \mid x_{n})$ je matice složená z vektorů souřadnic vektorů $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$, pak odpovídající duální matice ${\boldsymbol {A}}_{v^{\ast }}=(x_{1}^{\ast }\mid \ldots \mid x_{n}^{\ast })^{\mathrm {T} }$ splňuje:

${\boldsymbol {A}}_{v^{\ast }}={\boldsymbol {A}}_{v}^{-1}$

Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.

Jiné aplikace

Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:

• Ve vztazích ekvivalence, například podobnost a ekvivalence matic,
• pro normální formy matic, například Jordanovu normální formu nebo Frobeniovu normální formu,
• v maticových rozkladech, například pro Singulární rozklad,
• při výpočtu podmíněnosti matice regulárních matic.

Zobecnění

Pro singulární a obdélníkové matice lze sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inverse Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Regulární matice
• Determinant
• Hodnost matice
• Pseudoinverze, zobecnění inverzí k singulárním a nečtvercovým maticím
• Diagonalizace, převod matice do diagonální formy pomocí podobnostní transformace

Externí odkazy

• Lineární algebra: práce s maticemi Archivováno 3. 3. 2008 na Wayback Machine.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8
• Online výpočet soustav lineárních rovnic
• Matrix Inverse v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Autoritní data	PSH: 7270

Portály: Matematika