Hermitovy polynomy definoval (i když v sotva rozpoznatelném formě) Pierre-Simon Laplace v roce 1810;[1][2] detailně je zkoumal Pafnutij Lvovič Čebyšev v roce 1859.[3] Čebyševova práce však byla přehlížena a polynomy byly později pojmenovány po Charlesu Hermitovi, který je popsal jako nové v roce 1864.[4] Hermite tyto polynomy tedy neobjevil jako první, ale ve svém pozdějším díle z roku 1865 definoval vícerozměrné polynomy.
Hermitovy polynomy je možné definovat stejně jako jiné klasické ortogonální polynomy několika způsoby. Je třeba si uvědomit, že existují dvě různé definice, přičemž obvyklejší je tato:
„pravděpodobnostní Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
zatímco „fyzikální Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
tyto dvě definice ovšem nejsou přesně identické; liší se použitím jiného měřítka:
Tyto posloupnosti Hermitových polynomů se liší rozptylem; viz výklad o variancích níže.
Obvykle se pravděpodobnostní a fyzikální Hermitovy polynomy rozlišují značením He a H,[5] v teorii pravděpodobnosti se však často místo Hen používá Hn, protože
Hermitův polynom n-tého řádu je polynom stupně n. Pravděpodobnostní verze Hen má vedoucí koeficient 1, zatímco fyzikální verze Hn má úvodní koeficient 2n.
Ortogonální báze pro L2(R, w(x) dx) tvoří úplný ortogonální systém. Pro ortogonální systém je úplnost ekvivalentní se skutečností, že nulová funkce je jedinou funkcí f ∈ L2(R, w(x) dx), která je ortogonální se všemi funkcemi v systému.
Protože lineárním obalem Hermitových polynomů je prostor všech polynomů, pro důkaz úplnosti (pro fyzikální polynomy) stačí dokázat, že pokud f splňuje
pro každé n ≥ 0, pak f = 0.
Jedním ze způsobů, jak to udělat, je uvědomit si, že celá funkce
bude mít nulovou hodnotu identicky. Skutečnost, že pak bude F(it) = 0 pro každé reálné t znamená, že Fourierova transformacef(x)e−x2 je 0, a tedy že f je 0 skoro všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí i pro jiné váhy s exponenciálním poklesem.
V Hermitově případě je možné dokázat i explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část na Relace úplnosti níže).
Ekvivalentně lze fakt, že Hermitovy polynomy jsou ortogonální bází pro L2(R, w(x) dx), formulovat zavedením Hermitových funkcí (viz níže) a ukázáním, že jsou ortonormální bází pro L2(R).
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice
kde λ je konstanta. Zavedením okrajové podmínky, že funkce u musí být v nekonečnu polynomiálně omezená, má rovnice řešení, pouze pokud λ je nezáporné celé číslo, a pak je řešení jednoznačně dáno , kde je konstanta.
Hermitovy polynomy je možné chápat jako vlastní funkce diferenciálního operátoru . Tento problém vlastní hodnoty se nazývá Hermitova rovnice, i když tento termín se také používá pro blízce příbuzné rovnice
jejichž řešení lze, po stanovení okrajové podmínky, že u musí být polynomiálně omezená v nekonečnu, jednoznačně vyjádřit pomocí fyzikálních Hermitových polynomů ve tvaru , kde je konstanta.
Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu je vlastně lineární kombinací obou Hermitových polynomů a konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Například pro fyzikální Hermitovu rovnici
má obecné řešení tvar
kde a jsou konstanty, jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a jsou fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Tyto funkce lze kompaktně reprezentovat jako kde jsou konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Obvyklé Hermitovy polynomy lze také vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí, viz níže.
S obecnějšími okrajovými podmínkami je možné zobecnit Hermitovy polynomy pro získání obecnějších analytických funkcí pro komplexní λ. Explicitní vzorec Hermitových polynomů pomocí křivkových integrálů[6] je také možné.
Fyzikální Hermitovy polynomy je možné psát explicitně jako
Tyto dvě rovnice je možné zkombinovat do jedné pomocí funkce celá část:
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy He mají podobné vzorce, které je možné získat z těchto nahrazením mocniny 2x odpovídající mocninou √2x a znásobením celého součtu výrazem 2−n⁄2:
Tato rovnost je platná pro všechny komplexní hodnoty x a t a je možné ji získat zapsáním Taylorova rozvoje v x celé funkce z → e−z2 (ve fyzikálním případě). Můžeme také odvodit (fyzikální) vytvořující funkce pomocí Cauchyův vzorec zapsat Hermitovy polynomy jako
Dosazením do součtu
je možné vyhodnotit zbývající integrál pomocí reziduového počtu a tak získat požadovanou vytvořující funkci.
Momenty standardního normálního rozdělení (se střední hodnotou nula) je možné číst přímo z relace pro sudé indexy:
kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál. Pamatujte, že výše uvedený výraz je speciálním případem reprezentace pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy vyhovují vztahu
kde D reprezentuje derivaci podle x a exponenciální funkce je interpretována svým rozvojem na mocninnou řadu. O konvergenci této řady aplikované na polynomy není pochyb, protože všechny členy až na konečný počet zanikají.
Protože koeficienty mocninné řady exponenciální funkce jsou známé a derivace vyššího řádu jednočlenu xn je možné zapsat explicitně, tato reprezentace diferenciálním operátorem dává konkrétní vzorec pro koeficienty Hn, který lze použít pro rychlý výpočet těchto polynomů.
Protože formální výraz pro Weierstrassovu transformaciW je eD2, vidíme, že Weierstrassova transformace (√2)nHen(x⁄√2) je xn. Weierstrassova transformace tedy v zásadě převádí řadu Hermitových polynomů na odpovídající Taylorovu řadu.
Existence nějaké formální mocninné řady g(D) s nenulovým konstantním koeficientem, takové, že Hen(x) = g(D)xn, je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří Appellovu posloupnost. Protože jsou Appellovou posloupností, jsou také Shefferovou posloupností.
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy definované výše jsou ortogonální vůči standardnímu normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je
a které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1.
Při změně měřítka je možné obdobně mluvit o zobecněných Hermitových polynomech[10]
s rozptylem α, kde α je jakékoli kladné číslo. Tyto jsou pak ortogonální vzhledem k normální rozdělení pravděpodobnosti, jejíž hustota je
Jsou daný
Nyní, pokud
pak posloupnost polynomů, jejíž n-tý člen je
se nazývá stínová kompozice dvou posloupností polynomů. Lze dokázat, že vyhovuje identitám
a
Poslední vztah lze vyjádřit tím, že řekneme, že tato parametrizovaná rodina posloupností polynomů je známá jako křížová posloupnost. (Viz výše uvedená část o Appellových posloupnostech a o reprezentaci diferenciálním operátorem, která vede k její připravené derivaci. Tento vztah identity binomického typu pro α = β =1⁄2 jsme již zaznamenali ve výše uvedené části o rekurentních vzorcích.)
zapsat posloupnost, která je inverzní k podobně označené posloupnosti, ale bez znaménka minus, proto mluvíme o Hermitových polynomech se záporným rozptylem. Pro α > 0 jsou koeficienty pouze absolutními hodnotami odpovídajících koeficientů .
Tyto koeficienty se objevují jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: n-tý moment normálního rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem σ2 je
kde X je náhodná proměnná s uvedeným normálním rozdělením. Speciální případ křížové posloupnosti identit pak říká, že
Pro reálné x vyhovují Hermitovy funkce následujícímu omezení, které dokázal Harald Cramér[12][13] a Jack Indritz:[14]
Hermitovy funkce jako vlastní funkce Fourierovy transformaceeditovat
Hermitovy funkce ψn(x) jsou sadou vlastních funkcí Fourierovy transformace. Pro ověření použijeme fyzikální verzi vytvořující funkce a znásobíme ji e−1⁄2x2. Tím dostaneme
Fourierovu transformaci levé strany popisuje vzorec
Fourierovu transformaci pravé strany pak vzorec
Srovnáním stejných mocnin t v transformované verzi levé a pravé strany dostáváme
Hermitovy funkce ψn(x) jsou tedy ortonormální bází prostoru L2(R), která diagonalizuje Fourierův transformační operátor.[15]
V Hermitově polynomu Hen(x) s rozptylem 1 je absolutní hodnota koeficientu xk rovna počtu (neuspořádaných) dělení n-prvkové množiny na k singletonů a (n − k)/2 (neuspořádaných) dvojic. Ekvivalentně je to počet involucín-prvkové množiny s právě k pevnými body, což je počet párování v úplném grafu s n vrcholy, které ponechávají k vrcholů nepokrytých (skutečně, Hermitovy polynomy jsou polynomy párování těchto grafů). Součet absolutních hodnot koeficientů dává celkový počet dělení na singletony a dvojice, tak zvaná telefonní čísla
kde δ je Diracovo delta, ψn jsou Hermitovy funkce a δ(x − y) reprezentuje Lebesgueovu míru na přímce y = x v R2 normalizovanou tak, že její projekce na horizontální osu je obvyklá Lebesgueova míra.
Použitím limity u → 1 v Mehlerově vzorci, který platí pro −1 < u < 1, z této distribuční identity podle [19] plyne
což bývá často uváděno ekvivalentně jako separabilní jádro,[20][21]
Funkce (x, y) → E(x, y; u) je gaussovská hustota pravděpodobnosti funkce dvou proměnných na R2, která je při přiblížení u k 1, velmi zahuštěná kolem přímky y = x a velmi roztažená dále od této přímky. Odtud plyne, že
pokud jsou funkce f a g spojité a mají kompaktní support.
Odtud je možné vyjádřit f v Hermitově funkci jako sumu řady vektorů v L2(R), jmenovitě,
↑LAPLACE, P.-S. Théorie analytique des probabilités. [s.l.]: [s.n.], 1812. S. 194–203. vydané v Œuvres complètesVII.
↑CHEBYSHEV, P. L. Sur le développement des fonctions à une seule variable. Bull. Acad. Sci. St. Petersb.. 1859, roč. 1, s. 193–200. vydané v ŒuvresI, 501–508.
↑HERMITE, C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. C. R. Acad. Sci. Paris. 1864, roč. 58, s. 93–100. vydané v ŒuvresII, 293–303.
↑18. Orthogonal Polynomials, Classical Orthogonal Polynomials, Sums [online]. National Institute of Standards and Technology [cit. 2015-01-30]. Dostupné online.
↑INDRITZ, Jack, 1961. An inequality for Hermite polynomials. Proceedings of the American Mathematical Society. Roč. 12, čís. 6, s. 981–983. DOI10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2.
↑V tomto případě byla použita unitární verze Fourierovy transformace, takže vlastní čísla jsou (−i)n. Další pak slouží k definici mocnin (včetně racionálních) Fourierovy transformace pro nápadité získání zobecnění zlomkové Fourierovy transformace, resp. Mehlerova jádra.
↑FOLLAND, G. B.Harmonic Analysis in Phase Space. [s.l.]: Princeton University Press, 1989. (Annals of Mathematics Studies). ISBN978-0-691-08528-9.
↑MEHLER, F. G., 1866. Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. Čís. 66, s. 161–176. Dostupné online. ISSN0075-4102. ERAM 066.1720cj. (německy). Viz p. 174, eq. (18) a p. 173, eq. (13).
ABRAMOWITZ, Milton; STEGUN, Irena Ann, 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. vyd. Washington D.C.; New York: Dover. ISBN978-0-486-61272-0. Kapitola 22.
KOORNWINDER, Tom H.; WONG, Roderick S. C.; KOEKOEK, Roelof; SWARTTOUW, René F. Orthogonal Polynomials. Příprava vydání Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.. [s.l.]: Cambridge University Press ISBN978-0-521-19225-5. p/o070340.
LAPLACE, P. S., 1810. Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observations. Mémoires de l'Académie des Sciences. S. 279–347.Oeuvres complètes 12, pp.357-412, anglický překlad/translaceArchivováno 4. 3. 2016 na Wayback Machine..
SHOHAT, J.A.; HILLE, Einar; WALSH, Joseph L. A bibliography on orthogonal polynomials. Washington D.C.: National Academy of Sciences, 1940. (Bulletin of the National Research Council). - 2000 referencí of Bibliography na Hermitovy polynomy.
SUETIN, P. K. Hermite polynomials. [s.l.]: EMS Press, 2001.