Ortogonální polynomy

Posloupnost ortogonálních polynomů je v matematice rodina polynomů taková, že jakékoli dva různé polynomy v posloupnosti jsou navzájem ortogonální v nějakém unitárním prostoru.

Nejpoužívanější ortogonální polynomy jsou klasické ortogonální polynomy, ke kterým patří Hermitovy polynomy, Laguerrovy polynomy a Jacobiho polynomy spolu s jejich speciálními případy Gegenbauerovými polynomy, Čebyševovými polynomy a Legendrovými polynomy.

Obor ortogonálních polynomů rozvinul na konci 19. století ze studia řetězových zlomků Pafnutij Lvovič Čebyšev a rozvíjeli jej Andrej Markov a Thomas Joannes Stieltjes. K dalším matematikům, kteří se zabývali ortogonálními polynomy, patří Gábor Szegő, Sergej Natanovič Bernstein, Naum Iljič Achiezer, Arthur Erdélyi, Jakov Lazarovič Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam a Richard Askey.

Definice pro případ jedné proměnná s reálnou mírouEditovat

Je-li dána nějaká neklesající funkce   na reálných číslech, můžeme definovat Lebesgueův–Stieltjesův integrál

 

funkce f. Pokud je tento integrál konečný pro všechny polynomy f, můžeme definovat vnitřní součin dvojice polynomů f a g vzorcem

 

Tato operace je pozitivně semidefinitní vnitřní součin na vektorovém prostoru všech polynomů a je pozitivně definitní, pokud funkce α má nekonečný počet bodů růstu. Obvyklým způsobem zavedeme pojem ortogonality, jmenovitě, že dva polynomy jsou ortogonální, pokud je jejich vnitřní součin nula.

Pak posloupnost (Pn)n=0 ortogonálních polynomů je definována vztahy

 

Jinými slovy posloupnost získáme z posloupnosti jednočlenů 1, x, x2, ... Gram–Schmidtovou ortogonalizací vzhledem k tomuto vnitřnímu součinu.

Obvykle požadujeme, aby posloupnost byla ortonormální; zpravidla, aby

 

ale někdy se používají jiné normalizace.

Případ absolutně spojité funkceEditovat

Někdy máme

 

kde

 

je nezáporná funkce s nosičem na nějakém intervalu   reálné osy (přičemž může být i x1 = −∞ a x2 = ∞). Takové W se nazývá váhová funkce. Pak vnitřní součin popisuje vztah

 

Existuje však mnoho příkladů ortogonálních polynomů, kde míra dα(x) má body s nenulovou mírou, ve kterých je funkce α nespojitá, takže váhovou funkci W nelze definovat jako výše.

Příklady ortogonálních polynomůEditovat

Nejpoužívanější ortogonální polynomy jsou ortogonální pro míru s nosičem na nějakém reálném intervalu. Patří k nim:

Diskrétní ortogonální polynomy jsou ortogonální vzhledem k nějaké diskrétní míře. Míra má někdy konečný nosič; v tomto případě není rodina ortogonálních polynomů nekonečnou posloupností, ale konečnou. Racahovy polynomy jsou příkladem diskrétních ortogonálních polynomů a jako speciální případy zahrnují Hahnovy polynomy a duální Hahnovy polynomy, které zase zahrnují jako speciální případy Meixnerovy polynomy, Kravčukovy polynomy a Charlierovy polynomy.

„Proseté“ ortogonální polynomy (anglicky Sieved orthogonal polynomials) jsou ortogonální polynomy, jejichž rekurentní vztah je upraven použitím rekurentního vztahu z jiné skupiny polynomů.

Můžeme také uvažovat ortogonální polynomy pro nějaké křivky v komplexní rovině. Nejdůležitějším případem (jiným než reálné intervaly) je, když křivkou je jednotková kružnice, což dává ortogonální polynomy na jednotkové kružnici, jako například Rogersovy–Szegőovy polynomy.

Existují určité rodiny ortogonálních polynomů, které jsou ortogonální na rovinné oblasti jako například na trojúhelnících nebo kruzích. Někdy mohou být zapsány pomocí členů Jacobiho polynomů. Například Zernikeovy polynomy jsou ortogonální na jednotkovém kruhu.

Výhoda ortogonality mezi různými řády Hermitových polynomů je aplikována na strukturu Zobecněného multiplexování s frekvenčním dělením (anglicky Generalized frequency division multiplexing, GFDM). V každé buňce mřížky čas-frekvence může být přenášen více než jeden symbol.[1]

VlastnostiEditovat

Ortogonální polynomy jedné proměnné definované vztahem nezáporné míry na reálné ose mají následující vlastnosti.

Vztah k momentůmEditovat

Ortogonální polynomy Pn mohou být vyjádřeny pomocí momentů

 

takto:

 

kde konstanty cn jsou libovolné (závisejí na normalizaci polynomů Pn).

Rekurentní vztahEditovat

Polynomy Pn vyhovují rekurentnímu vztahu tvaru

 

Opačný výsledek popisuje Favardova věta.

Christoffelův–Darbouxův vzorecEditovat

Související informace naleznete také v článku Christoffelův–Darbouxův vzorec.

KořenyEditovat

Pokud míra   je podporovaná na intervalu  , všechny kořeny polynomu Pn leží v  . Navíc mají kořeny následující prokládací vlastnost:, pokud je m < n, existuje kořen polynomu Pn mezi jakýmikoli dvěma kořeny polynomu Pm.

Vícerozměrné ortogonální polynomyEditovat

Macdonaldovy polynomy jsou ortogonální polynomy několika proměnných, v závislosti na volbě affinního kořenového systému. Patří k nim mnoho jiných rodin ortogonálních polynomů více proměnných jako speciální případy, mj. Jackovy polynomy, Hallovy–Littlewoodovy polynomy, Heckmanovy–Opdamovy polynomy a Koornwinderovy polynomy. Askeyovy–Wilsonovy polynomy jsou speciálním případem Macdonaldových polynomů pro určitý neredukovaný kořenový systém hodnosti 1.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal polynomials na anglické Wikipedii.

  1. CATAK, E.; DURAK-ATA, L. An efficient transceiver design for superimposed waveforms with orthogonal polynomials. IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom). 2017, s. 1–5. ISBN 978-1-5090-5049-9. DOI 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657. S2CID 22592277. 

LiteraturaEditovat

  • ABRAMOWITZ, Milton; STEGUN, Irena Ann, 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. vyd. Washington D.C.; New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. Kapitola 22. 
  • CHIHARA, Theodore Seio, 1978. An Introduction to Orthogonal Polynomials. [s.l.]: Gordon and Breach, New York. ISBN 0-677-04150-0. 
  • CHIHARA, Theodore Seio, 2001. 45 years of orthogonal polynomials: a view from the wings. Journal of Computational and Applied Mathematics. Roč. 133, čís. 1, s. 13–21. ISSN 0377-0427. DOI 10.1016/S0377-0427(00)00632-4. Bibcode 2001JCoAM.133...13C. 
  • FONCANNON, J. J.; FONCANNON, J. J.; PEKONEN, Osmo, 2008. Review of Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable by Mourad Ismail. The Mathematical Intelligencer. Springer New York. Roč. 30, s. 54–60. ISSN 0343-6993. DOI 10.1007/BF02985757. S2CID 118133026. 
  • ISMAIL, Mourad E. H., 2005. Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge: Cambridge Univ. Press. Dostupné online. ISBN 0-521-78201-5. 
  • JACKSON, Dunham, 2004. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. New York: Dover. ISBN 0-486-43808-2. 
  • KOORNWINDER, Tom H.; WONG, Roderick S. C.; KOEKOEK, Roelof; SWARTTOUW, René F. Orthogonal Polynomials. Příprava vydání Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.. [s.l.]: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-19225-5. p/o070340. 
  • SZEGŐ, Gábor, 1939. Orthogonal Polynomials. [s.l.]: American Mathematical Society. (Colloquium Publications). Dostupné online. ISBN 978-0-8218-1023-1. 
  • SIRCAR, P.; PACHORI, R.B.; KUMAR, R. Analysis of rhythms of EEG signals using orthogonal polynomial approximation. In: ACM International Conference on Convergence and Hybrid Information Technology. Daejeon, South Korea: [s.n.], 27.–29. srpna 2009. S. 176–180.
  • TOTIK, Vilmos, 2005. Orthogonal Polynomials. Surveys in Approximation Theory. Roč. 1, s. 70–125. arXiv math.CA/0512424. 
  • Chuan-Tsung Chan; MIRONOV, A.; MOROZOV, A.; SLEPTSOV, A. Reviews in Mathematical Physics. Roč. 2018, čís. 6. DOI 10.1142/S0129055X18400056. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat